Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 9. Thể tích của hình chóp đều

§9. THÊ TÍCH CÙA HĨNH CHỚP ĐỀU
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Công thức tính thế’ tích:
Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao.
V = ị s.h
3
S: diện tích đáy h: chiều cao
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là một hình vuông có cạnh bằng 20cm, cạnh bên hình chóp bằng 24cm, Tính thế tích hình chóp.
cm
Giải	5
Gọi o là tâm của hình vuông ABCD cạnh 20cm.
Ta có đường chéo BD = 7aB2 + AD2 = 20V2 cm
nên OB = 7-BD = 10\/2 __ 2 Theo giả thiết SB = 24cm.
B
SO = 7sB2 - OB2 = ự242 -(10ự2)2 = 7376 = 2794
Diện tích đáy: SABCD = AB2 = 202 = 400 cm2 Thể tích hình chop là:
V = |s.h = ị.400.2794 = 8Q^ cm2 3	3	3
2. Bài tập cơ bân
Hình 129 là một cái lều ở trại hè của học sinh kèm theo các kích thước.
Thể tích không khí bên trong lều là bao nhiêu?
Xác định số vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp gấp... biết 75 «2,24).
Hình 129
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông SOB, ta có:
Tính thể tích của mỗi hình chóp đều dưới đây (h.130, h.131):
c
Đường cao AO = BO = l()cm (4^5
Đường cao AO = 12cm.
8.66)
Hình 130
Đường cao AO BO = 8cm (4Ĩ8
6,93)
Hình 131
A
S.MNOPQR là một hình chóp lục giác đều (h.132). Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy (đường tròn tâm H, đi qua sáu đỉnh của đáy) HM = 12cm (h.133), chiều cao SH = 35cm. Hãy tính:
Diện tích đáy và thể tích của hình chóp (biết 7108 «10,39);
Độ dài cạnh bên SM và diện tích toàn phần của hình chóp (biết 71333 « 36,51).
Hình 132
Giải
Thê tích hình chóp:
v = ị.s.h =-.4.2 = 1 (m3)
3	>	3
b) Số' vải hạt cần tính chính là diện tích của bốn mặt (hay là diện tích xung quanh) mỗi mặt là một tam giác cân.
a) Thể tích cần tính bằng thổ tích của hình chóp có chiều cao 2cm. Đáy là hình vuông (ạnh dài 2m. Diện tích đáy s = 22 = 4 (m2) Thể tích hình chóp: tam giác cân.
BC = 2Z + r = 5
Để tính điện tích xung quanh ta cần phải tính được trung duan túc la dường cao SH của mỗi mặt. SH2 - SO2 + OH2 = so2 + ' 1
SĨI = 75 »2,24 (m)
Nên SXj - p.d - 1.2.4.2,24 = 8,96 (m2)
Hình 58:
Đáv của hình chóp là tam giác đều cạnh bằng 10cm. Đường cao của tam giác dều là:
HD = 7dC2 - HC2 = 7l02 -52 = V75 « 8,66 (cm)
Diện tích đáy của hình chóp đều là:
s = ị .BC.h = ị. 10.8,66 = 43,3 (cm2)
2 2
Thể tích hình chóp đều là:
V = ị.S.h, = ị.43,3.12 = 173.2 (cm3)
3	1	3
• Hình 59:
Đường cao của tam giác đều BDC: h = jDC«-(ỈBC
= ự82 - 42 = 748 -6,93 (cm)
Diện tích đáy của hình chóp đều:
s = ị.BC.h = ị.8.6,93 = 27,72 (cm2) 2 2
Thể tích của hình chóp đều là:
V = |.s.h, = |.27,72.16,2 = 149,69 (cm2)
IM
a) Tam giác HMN là tam giác đều. Đường cao là:
HK = VhM2 - KM2 = Vl22 - 62 = ỰĨÕ8 HK« 10,39 (cm)
Diện 'tích đáy của hình chóp lục giác đều chính là 6 lần diện tích của tam giác đều HMN. Nên
Sđ = 6.ị.MN.HK d 2
= 6.|.12.10,39 = 374,04 (cm2)
Thể tích của hình chóp:
V = j sđ .SH = 1.374,04.35 = 4363,8 (cm2)
3	3
Trong tam giác vuông SMH có:
SM = VsH2 + MH2 = a/352 + 122 = Vl369 = 37 (cm) Đường cao của mỗi mặt bên là:
h = SK = ựSM2 - KM2 = ự372 - 62 = 71333 « 36,51 (cm)
Diện tích xung quanh hình chóp là:
Svn = p.d = ị.6.MN.SK = ị.6.12.36,51 = 1314,36 (cm2)
xq	2	2	’	’
Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sd = 1314,36 + 374,04 = 1688,4 (cm2)
Bài tập tương tự
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 18cm, đường cao SH = 14cm. Tính thể tích hình chóp.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA vuông góc với mp (ABCD) và ABCD là hình vuông. Biết SA = 4cm và góc SCA = 30° • Tính thê tích hình chóp.
LUYỆN TẬP
Trong các miếng bìa ở hình 134, miếng nào khi gấp và dán lại thì được một hình chóp đều?
Hình 134
Tính diện tích toàn phần của:
Hình chóp tứ giác đều, biết cạnh đáy a = 5cm, cạnh bên b = 5cm, 718,75 « 4,33;
Hình chóp lục giác đều, biết cạnh đáy a = 6cm, cạnh bên b = 10cm,
73 « 1,73; 701 « 9,54.	. _
Tính diện tích xung quanh của các hình chóp tứ giác đều sau
đây (h.135):
a) Tính thể tích của hình chóp đều (h.136):
Hình 136	Hình 137
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều (h.137). (Hướng dẫn: Diện tích cần tính bằng tổng diện tích các mặt xung
quanh. Các mặt xung quanh là những hình thang cân với cùng chiều cao, các cạnh đáy tương ứng bằng nhau, các cạnh bên bằng nhau).
Giải
Hình 1. Khi gấp lại không được hình chóp đều vì hình chóp thu được có đáy là hình chữ nhật. Không là đa giác đều.
Hình 2. Khi gấp lại ta được hình lăng trụ đứng đáy tam giác đều. Không phải là hình chóp đều.
Hình 3. Khi gấp lại không được hình chóp đều vì hình chóp thu được có đáy là hình ngũ giác không phải là ngũ giác đều.
Hình 4. Khi gấp lại không được hình chóp đều vì hình thu được là hình chóp đều thiếu một mặt đáy và dư một mặt bên.
(2)
48. a) Ta có các mặt bên của hình chóp đều là những tam giac đềi
cạnh 5cm, Đường cao của mỗi mật bén:
SH = Tsc2 - HC2
= 7õ2 -2,.? = ỰĨ8J5 « 4,33 (cm)
Diện tích xung quanh hình chóp:
Sxq = p.d = |.5.4.4,33 = 43,3 (cm2)
Điện tích đáy hình chóp:
Sđ = a2 = 52 = 25 (cm2)
Diện tích toàn phần hình chóp:
’ Stp = Sxq + sd = 43,3 + 25 = 68,3 (cm2)
b) Mặt bên của hình chóp lục giác đều là tam giác
cân có cạnh bên lOcm, cạnh đáy 6cm.
Đường cao SH của mặt bên là:
' SH = TsÃ2 - AH2 = 7lO2 - 32 = 791 « 9,54 (cm)
Diện tích xung quanh của hình chóp:
Sv„ = p.d = ---.6.6.9,54
xq n	2
171,72 (cm2)
Đáy cùa hình chóp là lục giác đều. Diện tích lục
giác bằng 6 lần diện tích tam giác đều ABO.
Chiều cao của tam giác đều là:
OH = 70S2 - BH2 - Tẽ2 - 3*
= 727 «5,2 (cm)
Diện tích đáy của hình chóp:
sd = 6,|.6.5,2 = 93,6 (cm2) '
e 2 x
Diện tích toàn phần của hình chóp:
’ stp = SX(1 + sd = 171.72 + 93,6 = 265,32 (cm2)
A H B 6cm
48. Hình a:
Hình b:
3 = p.d = ^.6.4.10 = 120 (cm2)
xq H	2
Sxq = p.d = |.7,5.4.9,5 = 142,5 (cm2) 2
Hình c: Độ dài trung đoạn:
d = 7Ĩ
'72
82 = 7289 - 64 = 7225 = 15
Nên Sxo - p.d = ị.16.4.15 = 480 (cm2)
a) Diện tích đáy của hình chóp đều:
s = BC2 = 6,52 = 42,25 (cm2)
Thể tích hình chóp đều:
V = ị.s.h = ị.42,25.12 « 169 (cm3)
3	3
b) Các mặt xung quanh là những hình thang cân đáy nhỏ 2cm, đáy lớn 4cm, chiều cao 3,5cm. Nên:
s„ = 4(2 + 4).3,5 = 42 (cm2)