Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác

§3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC Cơ BẲN
1. Định lí
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đổì diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
A
GT
KL
AABC có AD là phân giác BAC (D 6 BC)
DB _ DC AB AC
B
2. Chú ý
Định lí vẫn đúng đối với đường phân giác của góc ngoài của tam giác.
D'B _ AB D C " AC
B. HựỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC có AB = 45cm, AC = 30cm, BC = 50cm. Vẽ đường
phân giác AD.
Tính độ dài BD, DC.
Tia phân giác của góc B cắt AD ở I. Tính tỉ số AI : ID.
Giải
a) Theo tính chất đường phân giác góc A của AABC, ta có:
DB _ AB _ 45	3
DC - AC - 30 " 2
_ DB+DC 3+2 BC 5
Do đó:
DC _ 2 50 _ 5 DC “ 2
Suy ra: DB = 30cm
DC 2 DC = 20cm
b) Theo tính chất đường phân giác góc B của AADB, ta có: AI AB 45	3
ID _ BD _ 30 _ 2
2. Bài tập cơ bản
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường
phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và
diện tích của tam giác ACD băng — •
•	_	n
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM.
Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D,
tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.
Chứng minh rằng DE // BC (hình 25)
Giải
15. a) AD là đường phân giác của AABC nên
BD
AB
DC
AC
DC =
BD.AC
AB
DC =
3,5.7,2
4,5
=> X = 5,6
b) PQ là đường phân giác của APMN nên MQ = NQ kav MQ = 22
'	MP NP y 6,2	8,7
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức:
X MQ X + MQ 12,5 8,7 “ 6,2
8,7+ 6,2	14,9
8,7.12,5
14,9
16. Kẻ AH 1 BC
7,3
N
BD
DC
Mặt khác: AD là đường phân giác của AABC. BD _ AB _ m DC - AC “ —
Ta có:	SABD = I AH.BD
s4DC=|ah.dc
c	ị AH.BD
^ABD 2
=> C 2 - 1	
Sadc i AH.DC s 2	‘7
Vậy S.™ n
' °ACp 7
17. Ta có: MD là đường phân giác của AABM
AD _ AM
BD - BM	_
ME là đường phân giác cua AACM
AE AM
CE - MC	(2)
Mà MB = MC (AM là đường trung tuyến)
- AM AM
BM - MC	(3)
(1), (2), (3) => “ = “ => de // BC (Định lí Talet đảo)
3. Bài tập tương tự
Tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 7cm, AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC ở D và E: Tính các độ dài BD, BF.
Cho tam giác ABC (AB < AC). Kẻ phân giác AD của góc A. Qua trung điểm M của cạnh BC, ta kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA ỏ F. Chứng minh BF = CE.
LUYỆN TẬP
Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
BF	AE _ BF
ED FC 	b).A0.”BC
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường
chéo AC và BD cắt nhau tại o. Dường thẳng a
qua o và song song với đáy của hình thang cắt
cằc cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F
(hình 26).
Chứng minh rằng OE = OF.
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân
giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m,
AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là s.
b) Khi cho n - 7cm, m = 3cm,'hỏi rằng diện tích tam giác ADM
chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC? 0
Đố. Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:
Oi = Oa = 0,3 = 04 = O5 = Ofi
Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên
hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ các kích
thước đà cho.
Giải
a)
AE
c)
DE
DA
CF
CB
18. AE là đường phân giác của tam giác ABC nên EB*_ EC
. AB rAC
Áp dụng tính chât tỉ ỉệ thức
EB _ EC _ EB + EC = BC AB - AC _ AB + AC - AB 4- AC
3,82
EB = .^>^«3,18 AB + AC 5 + 6 _
EC = BC - BE
AO
oc
BF
FC
(1)
(2)
BF
a) Nối AC cắt EF tại o
, _	 ’ AE
AADC có EO // DC
hùư
, _ „ _ AO AABC CÓ OF // AB => ~
Từ (1) và (2) => 	AE BF
Từ ED “ FC
AE _ BF hay AD - BC
Từ
ED FC
AE
ED
BF
ED + AE FC + BF
AE + ED BF + FC
: FC AE
ED	FC
AD _ BC ED FC ED ” FC hay AD " BC Chú ý: Từ tỉ lệ thức — - — ta dê dàng chứng minh các tỉ lệ thức: a c a ± b
a±b c±d' b d 20. AADC có OE // oc nên
c±d:
OE AE
DC AD OF BF
ABDC có of // DC nên 7“ = —7;
DU
Mà AB // CD =>	= 5^- (câu b bài 19)
"	ad BC
Vậy 55 = 55 nên OE = OF.
21. a) Ta CỐ AD là đường phân giác của AABC
nên
Sạbd 
Ạpc
S
ABD
AC
Sạũc + SABU
m . ,
n + m
hnv ®ABD _	o _ rưS
SABC n + m	n + m
Vì AM là trung tuyến nên SABM = SíVBC.
_ I
Z~1 •	°	•’.À	T~»	À /■*'»	/	\	V	À T", IV	•=»	.V.
- —- (kết quả bài 16)
< q _ G
• AĐM	ABH
Q	 1 Q 	Q 	
> ADM 2 n + m	2fm + n)
Giả sử AB < AC (m < n), vì AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ A nên AD nằm giữa AB, AM.
- s
\BD
S(m + n - 2m)
c _ S(n - m)
bAJ)M - o, , _1 2(m + n)
b) Khi n = 7cm, m = 3cm ta có: s
(với n > m.)
ADM
7-^s s SJ00% 2(7 + 3)	5	5
Vậy diện tích AADM bằng 20% diện tích AABC X _ y
22. OB là phân giác trong AOBC oc là phân giác trong AOBD : OD là phân giác trong AOCE : OE là phân giác trong AODF :
OF là phân giác trong AOEG :
oc là phân giác AACE OE là phân giác AOCG
OD là phân giác AAOG
OD là phân giác AOBF
a c
y = £ b d Z _ t
c e t u
e g
AC CE . X + y z +1 -7-7- = “ hay	= ——
OA OE y a e z + t u + V
c g
x + y + z _ t + u + v
a	g
y + z _ t + u —fa-“7