Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

§5. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA Ẩn ở mau -
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Điều kiện xác định của một phương trình
Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.
Giải phương trình chứa ẩn sô' ở mẫu
Ta thường qua các bước:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình tìm được.
Bước 4: Kết luận.
Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
6x + 30	0 => X * ±5
15
15	,7
Phương trình (1) o	2(5-x)(5 + x) + 6(x + 5)
o 9(x + 5) - 90 + 14(x - 5) = 0
115
 23x + -115 = 0 X = — thỏa mãn điều kiện xác định.
23	.	115
Vậy phương trình (1) có ngiệm duy nhất là X =
Bài tập cơ bản
Giải các phương trình:
- 6	.3
—- = x+„ X	2
K
= 2x-l
-3
X "4” 5
(x2 + 2x) - (3x + 6)
b)
d)
b)
_. 2x - 5
c)
X - 3
28. Giải các phương trình:
, 2x-l , . _	1
a) ——- + 1 =
Giải
3x + 2
5x
2x + 2	X + 1
d, |±? + iz2 = 2
X + 1 X
2x-5	3(x + 5)
a)
X - 1	X - 1
„ 1 „2 , 1
X + — = X + -7
X	X
2x - 5
a) ----- = 3
X + O
ĐKXĐ: X * -5
= 3o
2x-5
X + 5	X + 5 x + 5
Suy ra: 2x - 5 = 3x + 15 2x - 3x = 15 + 5 	X = -20
X = -20 thỏa ĐKXĐ Vậy tập hợp nghiệm s = {—20}.
. X2 -6	.3
——— = x +2 ĐKXĐ: X 0 (2)	) = 2x2 + 3x
2x	2x
Suy ra: 2x2 - 12 = 2x2 + 3x -12 = 3x X = -4
X = -4 thỏa ĐKXĐ
Vập tập hợp nghiệm s - Ị-4}.
Chú ỷ: (2) có thể đổi cách khác
6	3
(2)«x-| = x + |
6 _ 3 ~	_
 -Z = O’ x °
X 2
 X = -4 thỏa X/ 0
Vậy tập hợp nghiệm s = Ị-4ì.
(3)
(x + 2)(x-3)
= 0 o 	—y-	
X - 3 X + 2 = 0 X = -2 thỏa X 7- 3
= 0 mà X * 3
(x2 + 2x) - (3x + 6)
—	'	= 0
X - 3
ĐKXĐ: X i 3
(3) o
x(x + 2) - 3(x + 2)
x-3
Vậy tập hợp nghiệm s = (-2Ị.
——= 2x -1 (4)
3x + 2	1 ’
ĐKXĐ: x^----
(2x - l)(3x + 2)
(4)0
O
3x + 2 3x + 2 Suy ra: (2x - l)(3x + 2) = 5 6x2 - 3x + 4x - 2 - 5 = 0 o 6x2 + X - 7 = 0 o 6x2 - 6x + 7x - 7 = 0 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0 o (X - l)(6x + 7) = 0
x-1 = 0 6x + 7 = 0
7 thỏa X 7^ —— x = -ị	3
6
"x = l
f 71
Vậy tập hợp nghiệm s =	—
■ 2x-1 . ,	1
a) ——1 + 1 = —-
X - 1	X - 1
ĐKXĐ: X * 1
Khử mẫu ta được: 2x-l+x-l = l 3x = 3
o X - 1
X = 1 không thỏa ĐKXĐ
Vậy phương trình vô nghiệm.
, ' 5x	6
2x + 2	X + 1
DKXD: X * -1
Khử mẫu ta được: 5x + 2x + 2
-12
b) - + 1 =
o 7x = - 14
 X = -2
Vậy phương trình có nghiệm X = -2.
~ , 1 „2 , 1
X + — = X + —
X	X
ĐKXĐ: X * 0
Khử. mẫu ta được: x:ì + X = x' + 1
 X1 - x:i - X + 1 = 0
 x:i(x - 1) - (X - 1) = 0
 (x - l)(x3 - 1) = 0
 (x - 1) (x - l)(x2 + X + 1) = 0
 (x - l )2(x2 + X + 1) = 0
 (x - l)2 = 0 hoặc X2 + X + 1 = 0
(x-l)2 = ox-l = ox = l
flY,3_n
X2 + X + 1 = 0 I X + I I + 1 = 0
» (x +="| (vô H)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = 1.
■ 1
Cách khác: Đặt y = X + —
X
=> y2 = X2 + -^ + 2 hay X2 + -Y- = y2 - 2 x“	X2
Do đó: y = y2 - 2 » y2 - y - 2 = 0
y2-2y + y- 2 = 0 « (y - 2)(y + 1) = 0
y = 2 y = -1
2x, X í 0
= -x; X * 0
lí)
Với y = 2 X + — = 2 X2 + 1 =
o (x - I)2 = 0
 X = 1 thỏa Xí 0
_ 1 : Với y = -1 X + — = -1 X2 + 1
OX2 + X+1 = 0
c 1V 3 X + _	+ — = 0 (vô
[24
Vậy phương trình có nghiệm X = 1.
x + h^2=2
X + 1 X
DKXD: X * 0, -1
Khử mẫu ta được x(x + 3) + (x + l)(x - 2) = 2x(x + 1) X2 + 3x + X2 -• 2x + X - 2 = 2x2 + 2x
 2x2 + 2x - 2 - 2x2 + 2x
 Ox = 2
Phương trình Ox = 2 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Bài tập tương tự
Giải các phương trình: . 2x - 5
c)
b)
3x - 2 6x + 1
= 3x1-
d)
x + 7 3x -1
2x - 3 2x + 5
X + 3 X + 2x - 3
LUYỆN TẬP
2	í*
29. Bạn Sơn giải phương trình 	ị- = 5 (1) như sau:
(1) X2 - 5x - 5(x - 5) X2 - 5x = 5x - 25 o X2 - lOx + 25 = 0 (x — 5)2 = 0 X = 5
Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức X - 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:
(1)0
x(x - 5)
X - 5
= 5 X = 5
Hãy cho biết ý kiến của em về hai lời giải trên. 30. Giải các phương trình:
a) + 3
x-2	2-x
X +1 X - 1	4
c) _—	- 	 - —-—-
X - 1 x + l X2 - 1
31. Giải các phương trình:
1	3x2 _ 2x
x-l x3-lx2+x + l 3	2
b) 2x -
2x
4x
d)
X + 3
3x - 2 6x + 1
X + 7 2x - 3
1 X3 -1
3	Ị
(x-l)(x-2)	(x-3)(x-l)	(x-2)(x-3)
. . * 1 12
1 +
X + 2	8 + X
13	'	1	=	6
(x-3)(2x + 7) 2x + 7	(x-3)(x + 3)
32. Giải các phương trình:
d)
-a) —+ 2 = ^—+ 2j(x +1)	b)^x + l + —J = ^x —1——-
33. Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:
7a + 2
3a - 1 a - 3 a) ~—- + ——77
3a + 1 a + 3
Giải
1° 3a-1 b) —	———
3 4a+ 12
6a + 18
29. • Trong cách giải của bạn Sơn có ghi (1) X2 - 5x = 5(x - 5)
là sai vì X = 5 không là nghiệm của (1) hay (1) có ĐKXĐ: X + 5
• Trong cách giải của Hà có ghi
x(x - 5)	_ .
(1) c = 5 X = 5
X ~
Sai ỏ chỗ không tìm ĐKXĐ của phương trình mà lại rút gọn X - 5. Tóm lại cả hai cách giải đều sai ở chỗ không tìm ĐKXĐ khi giải
phương trình chứa ẩn ở mẫu.
30. a) —+ 3 = 1^1 ĐKXĐ: X 2
Khử mẫu ta được: 1 + 3(x - 2) = -(x -3)l+3x-6 = -x + 3
3x + x = 3 + 6- l 4x = 8 X = 2
X = 2 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
2x2 4x 2
b)	=	+ J ĐKXĐ: X *-3
Khử mẫu ta được:
14x(x + 3) - 14x2 = 28x + 2(x + 3)	14x2 + 42x - 14x2 = 28x + 2x + 6
 X - — 2
•1
 42x - 30x = 6 o 12x = 6
X = ị thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 •
, x + 1	x-1	4
c) —	— — 2	1 ĐKXĐ: X ±1
Khử mẫu ta được: (x + l)2 - (x - l)2 = 4
 x2 + 2x + 1 - x2 + 2x1 = 4 4x = 4
 X = 1
X - 1 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
,. 3x-2 6x +1	'	_	3
ĐKXĐ: X * -7 Và X * I
Khử mẫu ta được: (3x - 2)(2x - 3) = (6x + l)(x + 7)
 6x2 - 9x - 4x + 6 = 6x2 + 42x + X + 7 -13x + 6 = 43x + 7 -56x = 1
-1
 X = —
56
-1 ,
X = —T thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm X 1	3x2	2x
-1
56
31. a)
x-1 Ta có:
- 1 X2 + X + 1
1 = (x - l)(x2 + X + 1)
. = (x — 1)
cho nên
- 1 ? 0 khi X - 1 * 0 o X * 1
Vậy ĐKXĐ: X * 1 Khử mẫu ta được:
X2 + X + 1 - 3x2 = 2x(x
x(x2 + X - 2) = 0 x[x2 + 2x - X - 2] = 0 x(x + 2)(x - 1) = 0 mà X + 2	0
 x(x - 1) = 0
1) o -2x2 + X + 1 = 2x2 - 2x 4x2 - 3x - 1 = 0 4x2 -4x + x- l = 0 o 4x(x - 1) + (x - 1) = 0 (x - l)(4x + 1) = 0
"x = 1
1
"	4
X = 1 không thỏa ĐKXĐ.
ì	.. _	1
.ương trình có nghiệm duy nhất X = -- . 3	2	1	4
-l)(x-2í (x-SKx-l) (x-2)(x-3)
,D: X ; ]; X 1 X i í mâu ta đượ.
3(x - 3) + 2(x,	3x - 9 + 2x - 4 = X - 1
5x - 13 = X - 1 lx = 12
 X = 3
X = 3 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
X + 2	8 + X3
Ta có:	8 + X3 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
= (x + 2)[(x - l)2 + 3]
Do đó 8 + x:t 0 khi x + ă^o^x? -2. Suy ra ĐKXĐ: X -2 Khử mẫu ta được:
X3 + 8 + X2 - 2x + 4 - 12 X3 + X2 - 2x - 0
 X = 0 hoặc X = 1
X = 0, X = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình.
Vậy phương trình có tập nghiệm là s = (0; li. d ’	13	+	1 =	6	
(x-3)(2x + 7) + 2x + 7	(x-3)(x + 3)
■	.	7
ĐKXĐ: X 7^ 3, X —3, x — 2
Khử mẫu ta được:
13(x + 3) + (x - 3)(x + 3) = 6(2x + 7) o 13x + 39 + X2 - 9 = 12x + 42 X2 + X - 12 = 0 X-' + 4x - 3x - 12 = 0
x(x + 4) - 3(x + 4) = 0 (x - 3)(x + 4) = 0 X = 3 hoặc X = -4
X = 3 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = -4.
32. a) I + 2 = ị I X	V X
ĐKXĐ: X + 0 .1
(1)0
+ 2 (x2 +1)
(1)
X = 0
+ 2 - — + 2 (x2 + 1) = 0 	(1 - X2 - 1) = 0
— + 2 = 0 X	o
^-x2 = 0 X = 0 không thỏa ĐKXĐ.
X = 0 không thỏa ĐKXĐ.	1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = - -|. b)fx+i+iT4x-i-iT ,2,
ĐKXĐ: X + 0
x-1-
-=-2 X	
2x = 0
X = -1 x = 0
X = 0 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = -1.
_ _	_	3â 1	3	3	r\T7A7TA _	.	1	_ o
a) Ta có phương trình:	+ •••'- =. 2; ĐKXĐ : a * - -T, a * -3
uâ + 13 + 0	O
Khử mẫu ta được:
(3a - l)(a + 3) + (a - 3)(3a + 1) = 2(3a + l)(a + 3)
 3a2 + 9a - a - 3 + 3a2 - 9a + a - 3 = 6a2 + 18a + 2a + 6 6a2 - 6 = 6a2 + 20a + 6
 20a = -12
3
a - --
a = -j thỏa ĐKXĐÌ
3 ,, , .5, r. 3a-l a-3 	, v _
Vậy a = -- thì biêu thức ị + ; — có giá trị băng 2.
□	03 + 1	3 + 0
, v 10 3a - 1	7a + 2
b) Ta có phương trình: T -	- 2
ĐKXĐ: a * 3; MTC: 12(a + 3)
Khử mẫu ta được:
40(a + 3) - 3(3a - 1) - 2(7a + 2) = 24(a + 3)
 40a + 120 - 9a + 3 - 14a - 4 = 24a + 72 17a + 119 = 24a + 72
o -7a = -47 47
o a - —
/17	7
a = Y thỏa ĐKXĐ.
47	10 3a-l 7a + 2	„
Vậy a = Y thì biểu thức y -	- ầrÈ CÓ giá trị bằng 2-