Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 3. Thể tích của hình hộp chữ nhật
§3. THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng vuông góc Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đi qua A. Haijndt phẳng vuông góc Khi một trong hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẵng còn lại thì người ta nói hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Kí hiẹuĩ mp (ABCD) 1 mp (A’B’C’D’) a a 1 mp (P) (ABCD) 1 mp (A’B’C’D’l Thể tích hình hộp chữ nhật I V = a.b.c a, b, c là ba kích thước của hình hộp. Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a3 B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phắng nào? Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau, vì sao? Giải 1 1 1 1 hL / / G BF vuông góc với các mặt phẳng (ABCD) D và (EFGH)? Do ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật nên A EFGH và ADHE là các hình chữ nhật. Do đó EH 1 HG EH 1 HD Mà HG, HD thuộc mặt phẳng (CGHD) Suy ra EH 1 mp (CGHD) (1) Do EH thuộc mặt phẳng (AEHD) (2) f Từ (1) và (2) ta có mp 1AEHD) 1 mp (CGHD) Bài tập cơ bản 1) Gap hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật hay không? Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình 87b. 110 llình 87 Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phẳng nào? Hai mặt pnẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau, vì sao? a) Tính các kích thước của một hình hộp chư nhật, biêt rằng chúng tì lệ với 3, 4, 5 và thể tích cua hình hộp này là 480cm3. b) Diện tích toàn phần của một hình lập phương là 486m2. Thể tích của nó lả bao nhiêu? A, B, c và D là những đinh của hình hộp chữ nhật cho ở hình 88. Hãy điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau: AB 6 13 14 /T k BC 15 16 34 //--VC "7? CD 42 70 62 / X í. D c DA 45 75 75 Hình 88 Kết quả bài 12 minh họa công thực quan trọng sau: DA - vẠB2 + BC2 + CD2 a) Viết công thức tính thề tích của hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (h.35) b) Điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau: Chiều dài 22 18 15 20 A B Chiều rộng 14 n/ / Chiều cao 5 6 8 /M / z__ Q p Diện tích một đáy 90 260 Thể tích L 1320 2080 Hình 89 Giải 1. Gấp hình 33a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chư nhạt. 2. a) Trong hình hộp ABC.D.EFGH thì: BF song song với mp (DHGC) và mp (DHEA). b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau vì mặt phẳng (AEHD) chứa đường thẳng EH vuông góc với mặt phẳng (CGHD) tại H. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhát, a) Vì a, b, c tỉ lệ với 3; 4; 5 nên I = I = t (t > 0) 3 4 5 -> a - 3t; b = 4t; c = 5t (1) Mà thể tích hình hộp là 480cm3 nên a.b.c = 480 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 3t.4t.5t = 480 60t:i = 480 t:ì = 8 t = 2 Do đó: a = 6 (cm); b - 8 (cm); c = 10 (cm) Vậy các kích thước của hình hộp là 6cm; 8cm; lOcm. b) Hình lập phương là hình có 6 mặt bằng nhau. Diện tích mỗi mặt là 486 : 6 = 81(m Thể tích: 22 X 14 X 5 = 1540 Diện tích 1 đáy: 22 X 14 = 308 Chiều rộng: 90 : 18 = 5 Thể tích: 18 x5x6 = 90 x6 = 540 ). Suy ra độ dài cạnh hình lập phương a = 781 = 9 (cm) Vậy thể tích hình lập phương: V = a Chiều rộng: 1320 : (15 X 8) = 11 Diện tích 1 đáy: 15 X 11 = 165 Chiều rộng: 260 : 20 = 13 Chiều cao: 2080 : 260 = 18 = 93 = 729 (m3) Trước hết ta chứng minh hệ thức sau: DA2 = AB2 + BC2 + CD2 Ta có: ' AABC vuông tại c BD2 = DC2 + BC2 AABD vông tại B -> AD2 = BD2 + AB2 Vậy AD2 = DC2 + BC2 + AB2 Áp dụng hệ thức này ta sẽ tính được độ dài một cạnh khi biết ba độ dài kia. AB 6 13 14 25 BC 15 16 23 34 CD 42 40 70 62 DA 45 45 75 75 13- a) Ya^D.MNPQ = MN.NP.NB b) Điền vào ô trống: 1) 2) 3) 4) Chiều dài 22 18 15 20 Chiều rộng 14 5 11 13 Chiều cao 5 6 8 18 Diện tích một đáy 308 90 165 260 Thế tích 1540 540 1320 2080 Bài tập tương tự Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy chỉ ra một ví dụ cụ thế để chứng tỏ các phát biểu sau là sai. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thắng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = 4cm, AC = 5cm và A’C = 13cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. LUYỆN TẬP Một bể nSfc hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m. Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể 120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m. Tính chiều rộng của bể nước. Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét? Một cái thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu của nước là 4dm. Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng ldm và chiều cao 0,5dm vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đêximét? (Giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nưởc và chúng hút nước không đáng kể). Thùng chứa của một xe chỏ hàng đông lạnh có dạng như hình 90. Một số mặt là những hình chữ nhật, chẳng hạn (ABKI), (DCC’D’), ... Quan sát hình và trả lời các câu hỏi sau: A I B’ C' I linh 90 Những đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABKI)? Những đường thẳng nào vuông góc với mặt phắng (DCC’D’)? Mặt phẳng (A’D’C’B’) có vuông góc với mặt phẳng (DCC’D’) hay không? X bX 1 1 1 A G Hình 91 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (h.91). Kể tên các đường thẳng song song với mp (EFGH). Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào? Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào? Đố: Các kích thước của một hình hộp chữ nhật là 4cm, 3cm và 2cm. Một con kiến bò theo mặt của hình hộp đó từ Q đến p (h.92). Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất? Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu xentimét? Giải a) Thể tích nước đổ vào: 120 X 20 = 2400 (/) = 2,4m3 Chiều rộng của bể nước: 3,6 (m3) 2,4 : (2 X 0,8) = 1,5 (m) b) Thể tích của hồ nước: 2400 + 60 X 20 = 3600 (Z) = Chiều cao của hồ nước: 3,6 : (2 X 1,5) = l,2m Thể tích của nước trong thùng: 7 X 7 X 4=196 (dm3) Thể tích của 25 viên gạch: 25 X (2 X 1 X 0,-5) = 25 (dm3) .Thể tích của nước và gạch: 196 + 25 = 221 (dm3) Thể tích của thùng: 73 = 343 (dm3) Nước trong thùng dâng ỉên cách miệng thùng là: (343 - 221) : (7 X 7) * 2,49 (dm) a) Những đường thẳng song song với mặt phẳng (ABKĨ) là: A’B:; D’C’; DC; JH Những dường thẳng vuông góc với mặt phảng (DCC’D’) là: A’D’; B’C’; DJ; CH; AI; BK Hai mặt phẳng (A’B’C’D’) và (CDD’C’) vuông góc nhau. a) Những đường song song với mặt phẳng (EFGH) là: AB; BC; CD; DA Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng: (CDHG); (EFGH) Đường thẳng AD song song với những đường thẳng: BC; FG: EH Vì con kiến phải bò theo mặt của hình hộp từ Q đến p tức phải bò Ta có: QP • = 74*-+ 5- = 74 ĩ QP = Te2 + 9 = 745 So sánh: 7ĨĨ < 745 Vậy độ dài ngắn nhất là 7-41 « 6,4 (cm) Đường đi ngắn nhất: 2 2 0 Ó Q 4 2 P’ trên “một mặt phẳng” ta vẽ hình khai triển của hình hộp chữ nhật và trải phảng như sau: