Giải bài tập Toán lớp 8: Bài tập ôn cuối năm

BÀI TẬP ÔN CUỐI NĂM
A. PIIẦN ĐẠI SỐ
Phân tích các đa-thức sau thành nhân tử:
a2 - b2 - 4a 4- 4	b) X2 4- 2x - 3
4x2y2 - (x2 4- y2)2	d) 2a3 - 54b:i
a) Thực hiện phép chia:
(2x4 - 4x3 4-5x2 4- 2x - 3) • (2x2 - 1)
Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của X.
Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau tại X = -	:
Jx-3)2 5. Chứng minh rằng:
X2 -9
X - 3
(x + 3)2
b2
24x2
12
81 X2 4- 9
a2 b2 c2 b2 c2 a2
	H 	1	— 	Ị- 	1	
a+b b+c c 4-a a+b b+c c+a 6. Tìm các giá trị nguyên của X để phân thức M có giá trị là một
số’ nguyên
-I ru.2	n.. r	■
lOx -7x-5
2x - 3
7. Giải các phương trình:
a)
4x4-3 6x - 2 5x 4- 4
5
. X + 2
c) —— 4-
7
3(2x -1)
3
5x -
346 8.. Giải các phương trình: a) i 2x - 3 I =4
Giải phương trình:
X 4- 2 X 4- 4 98 + 96 =
Giải các phương trình:
1	5	15
a)
= X 4-
b)
5_
12
3(2x-l)	3x4-1,,	2(3x + 2)
-4	5
b) i 3x - 1 I - X = 2
X 4- 6 X 4- 8
4-
94
92
X 4-1	x-2	(x-i-l)(2-x)
11. Giải các phương trình: a) 3x2 + 2x - 1 = 0
b)
X - 1 X 4- 2
3
5x - 2 4-X2
2
a)3x2 + 2x-l = 0	+ —? = 3ị
x-2x-4	5
12. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về nguờĩ đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AE.
Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. ■ Nhưng nhờ tổ chức lao động hợp lý nên thực tế đã sản xuất mỗi
ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó xí nghiệp đã sản xuâ't không những vượt mức dự định 255 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thới hạn. Hỏi thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày?
10
Cho biểu thức:
(x-2) +
X - 4
a) Rút gọn biểu thức A.
2 . 1 + —— +
Tính giá trị của A tại X, biết |x| = 2 •
Tìm giá trị của X để A < 0.
Giải bất phương trình:
2S4>1
X - 3
Giải
a) a2 - b2 - 4a + 4 = a2 - 4a + 4 - b2
= (a - 2)2 - b2 = (a - 2 + b)(a - 2 - b) = (a + b - 2)(a - b - 2)
X2 - 2x - 3 = X2 + 2x + 1 - 4
= (x + l)2 - 22 = (x + 1 + 2)(x +1-2)
= (x + 3)(x - 1)
4x2y2 - (x2 + y2)2 = (2xy)2 - (x2 + y2)2
= (2xy - X2 - y2)(2xy + X2 + y2)
= -(x2 - 2xy + y2)(x2 + 2xy + y2)
=-(x - y)2(x + y)2
2a3 - 54b3 = 2(a3 - 27b3)
= 2[a3 - (3b)3] = 2(a - 3b)(a2 + 3ab + 9b2)
a) Thực hiện phép chia
Vậy (2x‘> - 4x3 + 5x2 + 2x - 3) : (2x2 - 1) = X2 - 2x + 3
b) Thương tìm được có thể viết:
X2 - 2x + 3 = (x2 - 2x + 1) + 2
= (x - l)2 + 2 > 0 với mọi X
Vậy thương tìm được luôn luôn dương với mọi giá trị của X.
Gọi hai số lẻ bất kì là 2a + 1 và 2b + 1 (a, b e Z).
Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng:
(2a + l)2 - (2b + I)2 = (4a2 + 4a + 1) - (4b2 + 4b + 1)
= (4a2 + 4a) - (4b2 + 4b) = 4a(a + 1) - 4b(b + 1)
Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên a(a + 1) và b(b + 1) chia hết cho 2.
Do đó 4a(a + 1) và 4b(b + 1) chia hết cho 8 4a(a + 1) - 4b(b + 1) chia hết cho 8
Vậy (2a + l)2 - (2b + l)2 chia hết cho 8 (đpcm).
• Ngoặc vuông thứ nhất: .
x + 3	6	x-3 _ x + 3	6	x-3
(x-3)2 X2 - 9 (x + 3)2	(x-3)2 (x - 3)(x + 3) (x + 3)2
(x + 3)3 + 6(x - 3)(x + 3) - (x - 3)3
(x - 3)2(x + 3)2
_ X3 + 9x2 + 27x + 27 + 6x2 - 54 - (x3 - 9x2 + 27x - 27)
(x - 3)2(x + 3)2
-	24x2
” (x-3)2(x + 3)2
24x2
" (x" - 9)2
• Ngoặc vuộng thứ hai:
r 24x2
12 ì
= 1:
24x2
12
X4 -81
X2 + 9,
_(x2 - 9)(x2 + 9)
X2 + 9
;24x2 - 12(x2 - 9p , (x2 - 9)(x2 + 9) ,
12x2 + 108 : (x2 - 9)(x2 + 9)
T (x2 - 9)(x-2 + 9) 12x2+108
(x2 -9)(x2 +9)
12(x2 + 9)
X2 -9
X + 3	6
X - 3
1 :
( 24x2
12 ì
_(x-3)2 X2 - 9
(x + 3)2.
2 x'1 -81
X2 + 9 J
Nên
24x2
-9
9)2	12
(x2- 2x'
X- -9
Tại x = - Q giá trị của biểu thức là: O
2.-2
2.1
_9_ 	
1-9 ■ -1° 9	9
40
5. Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế:
_ a2(b + c)(c + a) + b2(a + b)(c + a) + c2(a 4- b)(b + c)
(a + b)(b + c)(c + a)
Tử bằng:
= a2(bc + ab + c2 + ac) + b2(ac + a2 + bc + ab) + c2(ab + ac + b2 + bc) = a2bc + a3b + a2c2 + a3c + ab2c + a2b2 + b3c + ab3 + abc3 + ac3 + b2c2 + bc3 = a3(b + c) + a2(bc + b2 + c2) + a(b3 + c3 + b2c + bc2) + bc(bc + b2 + c2) (1) YP _ b2(b + c)(c + a) + c2(a + b)(c + a) + a2(a + b)(b + c)
(a + b)(b + c)(c + a)
Tử bằng:
= b2(bc + ab + c2 + ac) + c2(ac + a2 + bc + ab) + a2(ab + ac + b2 + bc) = b3c + ab3 + b2c2 + ab2c + ac3 + a2c2 + bc3 + abc2 + a3b + a3c + a2b2 + a2bc = a3(b + c) + a2(bc + b2 + c2) + a(b3 + c3 + b2c + bc2) + bcíbc + b2 + c2) (2) So sánh (1) và (2) ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức
được chứng minh.
Cách 2: Xét hiệu hai vế
a2 b2 b2 c2 c2 a2
a+b a+b b+c (a + b)(a - b)
b+c c+a c+a
(b + c)(b - c) (c + a)(c - a)
a + b
= a - b + b • b2
b + c c + c - a = 0
-2 b2
Tr„ a	b	c	b c a
Vậy	— + —	1—-— = ——— + ,	1	
a+b	b+c	c+a	a+b	b+c	c+a
Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn Cách 1.
„	_	10x2 - 7x - 5	_	. , .	7
6. Ta có: M =
2x - 3
= 5x + 4 + •
2x - 3
2x - 3 = 1
=> 2x = 4
=>
X = 2
2x - 3 = -1
=> 2x = 2
=>
X = 1
2x - 3 = 7
=> 2x = 10
=>
X = 5
2x - 3 = -7
=> 2x = -4
=>
X = -
: e {-2; 1; 2;
5).
2x - 3
M có giá trị nguyên với giá trị ngủyên của X thì phải có điều kiện là nguyên. Tức 2x‘ - 3 là ước của 7. Hay 2x - 3 bang ±1; ±7.
Vậy X e
a) Khử mẫu ta được:
21(4x + 3) - 15(6x - 2) = 35(5x + 4) + 105.3 o 84x + 63 - 90x + 30 = 175x + 140 + 315 o 84x - 90x - 175x = 140 + 315 - 63 - 30 o -181x = 362 X = -2
Qui đồng và khử mẫu ta được:
15(2x - 1) - 2(3x + 1) + 20 = 8(3x + 2)
30x - 15 - 6x - 2 + 20 = 24x + 16
o 30x - 6x - 24x = 16 - 20 + 15 + 2 Ox = 13: phương trình vô nghiệm.
X + 2	3(2x - 1) 5x - 3	5
 —	1	— — X + ——
3	4	6	12
o 4(x + 2) + 9(2x - 1) - 2(5x - 3) = 12x + 5 4x + 8 + 18x - 9 - lOx + 6 = 12x + 5 o4x + 18x - lOx - 12x = 5- 8 + 9- 6 Ox = 0
Phương trình nghiệm đúng với mọi X.
8. a) 12x - 3 I = 4 
b) Ị 3x - 11 - X = 2
2x-3 = 4
2x - 3 = -4
2x = 7 2x = -1
 I 3x - 1 I = X + 2 x + 2 > 0
3x - 1 = X + 2 hoặc 3x -1 = -(x + 2) X > -2
X = — hoặc X = --- 2	4
9.
x+2	x+4
+ •
98
96 X + 2
98
x + 100
98
(x +100)
( VÌ -1- 98
 X + 100 = 0 X = -100
1 1 1
94	92
) x + 100 x + 100 x + 100 +	96	”	94 -+	92
0)fnH + Ẳ_Ả“ẢÌ = 0
<98	96	94	92J
10. a)
96
94
5
92
* 0) 15
X+*L x-2 (x + l)(2-x)
ĐKXĐ: X * -1, X * 2
15
x + 1 + 2-x _ (x + l)(2-
15
x)
 2 - X + 5(x + 1) = 15 2 - X + 5x + 5 = 15 	X = 2 (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm X - 1 X 5x - 2
b)
X + 2 x - 2 ĐKXĐ: X ±2
x-1
o
4 - X2
5x - 2
x + 2	x-2	(2-x)(2 + x)
X -1 X	5x - 2
x + 2	x-2 (x - 2)(x + 2)
 (x - l)(x - 2) - x(x + 2) = -Í5x - 2) X2 - 3x + 2 - X2 - 2x = -5x + 2 -Ox = 0
Phương trình nghiệm đúng với mọi X ±2. 11. a) 3x2 + 2x - 1 = 0
 3x2 - 3 + 2x + 2 = 0 3(x2 - 1) + 2(x + 1) = 0 3(x - l)(x + 1) + 2(x + 1) - 0 (x + l)(3x - 3 + 2) = 0 (x + l)(3x - 1) = 0
'x = -1
<»
Vậy s = -1;
x + 1 = 0 3x - 1 = 0 1
,, X - 3 X - 2 n 1	16
b) -—+ -—=. = 3 A = hr
X - 2 X -4	5	5
ĐKXĐ: X * 2, X * 4 Khứ mẫu ta được:
5(x - 3)(x - 4) + 5(x - 2)- = 16(x - 2)(x - 4) o 5(x2 - 7x + 12) + 5(x2 - 4x + 4) = 16(x2 - 6x +• 8) 10x2 - 55x + 80 = 16x2 - 96x + 128 6x2 - 41x + 48 = 0
o 6x2 - 9x - 32x + 48 = 0
» 3x(2x - 3) - 16(2x - 3) = 0
o (2x - 3)(3x - 16) = 0 '2x - 3 = 0
3x - 16 = 0
„	’16 r 1
x = -r = 5—
L 3	3
Các nghiệm đều thỏa mãn ĐKXĐ: X * 2, X * 4.
12. Gọi độ dài quãng đường AB là X (km), (x > 0).
Thời gian đi từ A đến B: — giờ 25
Thời gian đi từ B đến A: — giờ oU
20 phút = i giờ
= ị » 6x - 5x = 50 30	3
25
Theo đề bài ta có phương trình: X
 X = 50 thỏa mãn điều kiện X > 0.
Vậy quãng đường AB dài 50km.
13. Gọi số ngày rút bớt là X (0 < X < 30).	1500
Số sản phẩm sản xuất trong một ngày theo dự định ban đầu là —Tu
lsan phẩm).
Tổng số sản phẩm sản xuất được sau khi đấ tăng năng suất:
1500 + 255 = 1755 (sằn phẩm)
Số sản phẩm sản xuất trong một ngày sau khi đã tăng năng suất:
1755
30 - X
(sản phẩm)
Theo đề bài ta có phương trình:
1755	1500
30 - X 30
0	_ 1755	.
- = 15 ———— 50 = 15 
30-X
o 1755 = 65(30 - x) o 1755 = 1950 - 65x o 65x = 1950 - 1755 « 65x = 195
1755
30-X
= 65
 X = 3 (thỏa mãn)
Vậy xí nghiệp đã rút ngắn được 3 ngày.
A r x	2	1	Ỹfz-	nx.lO-x'i
• a) u -4	2-x	x + 2j	x + 2 J
_ < X	2_	1	. (x - 2)(x + 2) + 10 - X2
ựx - 2)(x +	2)	x-2	X + 2J'	x +	2
_ X - 2(x + 2) + X - 2 X2 - 4 + 10 - X2
(x-2)(x + 2)	x + 2
-6 6
(x - 2)(x + 2) X + 2 _	-6	X + 2
(x - 2)(x + 2)	6
-1 _ 1
- X - 2	2 - X
b) Giá trị của A tại |x| = —
,T>	1	A -	1	_ 1 _ 2
Nếu X = thì A =	— = -77 = —
Nếu X = - 77 thì A = 2
1 1 2
2-
c) A 2
X - 3
2
B. PHAN HÌNH HỌC
Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5cm.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau ở o và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thầng OA, OD và BC. Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều.
Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại c cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là:
Hình thoi?	b) Hình chữ nhặt?
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì đê’ tứ giác MENK là:
Hình thoi?	b) Hình chữ nhật?	c) Hình vuông?
Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AA’ va BB’ cắt nhau ở G. Tính diện tích Lam giác ABC biết rằng diện tích tam giác ABG bằng s.
<5. Cho tam giác ABC và dường trung tuyên BM. Trên đoạn thẳng BM
lây điếm D sao cho	. Tia AD cắt BC ỏ' K. Tìm tỉ số diện
tích của tam giác ABK và tam giác ABC.
Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh BD = CE.
Trên hình 151 cho thấy ta có thể xác định chiểu rộng BB’ của khúc sông bằng cách xét hai tam giác đồng dạng ABC và AB’C’. Hãy tính BB’ nếu AC = 100m, AC’ = 32m, AB’ = 34m.
Cho tam giác ABC có AB < AC, D là một điếm nằm giữa A và c.
Chứng minh rằng ABD = ẤCB o AB2_= AC.AD.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 12cm, AD = 16cm, AA’ - 25cm.
Chứng minh rằng các tứ giác ACC’A’, BDD’B’ là những hình chữ nhật.
Chứng minh rằng AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2.
Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20cm, cạnh bên SA = 24cm.
Tính chiều cao so rồi tính thể tích của hình chóp.
Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Giải
Dựng đoạn thẳng CD = 4cm.	A,	B .-—- B’
Dựng hai đường tròn (C, 5cm) và (D, 2cm)	A2cn/
cắt nhau tại A,	\2cm	\ /
Dựng đường tròn (C, 2cm) và đường tròn \
(A, 4cm) cắt nhau tại B.	D	4cm c
Đường thăng AB kéo dài cắt đường tròn (C, 2cm) tại điểm B’ (ngoài diêm B đã ke ó' trên).
Các tứ giác ABCD và AB’CD là những hình thang thỏa mãn đề bài. Chứng minh: Vì B e (A, 4cm) nên AB = 4cm.
AABC = ADCA (AB = CD = 4cm, AD = BC = 2cm, AC chung) do đó BAC = DCA là cặp góc so le trong ta có: AB // CD
Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 2cm là hình thang thỏa mãn yêu cầu, AB’CD cũng là hình thang thỏa mãn yêu cầu vì AB’ // CD, AD = 2cm, CD = 4cm, CB’ = 2cm.
Tam giác ABO đều nên tam giác CDO cũng đều, suy ra OD = oc. AAOD = ABOC (c.g.c) => AD = BC.
EF là đường trung bình của tam giác AOD nên:
ef = 4ad = |bc (1)
2 . 2
CF là đường trung tuyến của tam giác đều CDO nên
CF 1 DO, nghĩa là CFB = 90° • Trong tam giác vuông
CFB, FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
FG = |bC	(2)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
EG = ịBC	(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra EF = GF = EG nên tam giác EFG là tam giác đều.
Ta có: CE 1 AB (gt)
KB 1 AB (gt)	A
Suy ra BK // CH	(1)	/\D
Tương tự BH // KC (2)
Từ (l).và (2) ta được:
Tứ giác BHCK là hình bình hành. Gọi M là r// giao điểm của hai đường chéo BC và HK.	'"""-'-A X. /
a) BHCK là hình thoi o 1IM ± BC	r
Vì HA X BC nên HM X BC A, H, M thẳng	k
hàng. Tam giác ABC cần tại A.
BHCK là hình chữ nhật o BH i HC. Ta lại có BE 1 HC, CD 1 BH nên BH 1 HC <=? H, D, E trùng nhau. Khi đó H, D, E cũng trùng với A. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông ở A.
A M B
D N C
Tứ giác MBND là hình bình hành.
(MB //= ND)
Lại có MN // BC (vì MBCN là hình bình hành).
EK // CD (vì EK là đường trung bình của ACDM).
Để MENK là hình thoi thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo vuông góc.
Tức là MN X EK.
Suy ra BC X CD.
Vậy ABCD phải là hình chữ nhật.
Để MENK là hình chữ nhật thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là MN = EK.
Mà MN = BC, EK = |cD suy ra :
2
BC = ịcD 2
Để MENK là hình vuông thì MENK phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật có:
2
*■	bc = Ậdc
Từ (1), (2) suy ra s
AB<
■=2.|sadg=3S
Kẻ ME song song với AK (E e BC).
Ta có:	1 => KE = 2BK
ME là đường trung bình của tam giác ACK
nên EC = KE = 2BK.
Ta có: BC = BK + KE + EC = 5BK => I
jd(J O
Sabk BK 1
s - BC _ 5 (hai tam giác ABK và ABC
có chung đường cao hạ từ A).
AK là đường phân giác của tam giác ABC nên
KB KC
AB = AC	(1)
Vì MD // AK nên:
AABK ~ ADBM và AECM ~ AACK
Do đó:
KB _ BM CM = KC
AB ■ BD va CE " AC
_	BM CM
Từ (1) và (2) ta có:
B
(2)
(3)
BD CE
Do BM = CM (giả thiết) nên từ (3) suy ra: BD = CE
AB AC _ AB'+BB' AC
Ta có: AR, - ACr => AB - AC,
34 + BB' 100 _
34	" 32 -
BB' = 72,25 (m)
a) Chứng minh ABD = ACB « AB“ = AC.AD AABD ~ AACB (g.g) =>---- = — => AB2 = AC.AD
AB AD
AC AB 	
b) Chứng minh AB" - AC.AD => ABD = ACB
A r>2	A TV AB AD
AB - AỢAD =>
AC AB
Góc À chung nên AABD ~ AACB (c.g.c)
=> ABD = ACB
Vậy ABD = ACB o AB" = AC.AD
a) Chứng minh rằng mỗi mặt chéo là một hình bình hành có một góc vuông.
Trong tam giác vuông ACC’:
AC’2 = AC2 + CC2 = AC2 + AA’2 Trong tam giác vuông ABC:
AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + AD2 Do đó:	AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2
Hình hộp chữ nhật được xem như hình lăng trụ đứng. Diện tích xung quanh: Sxq = 2ph = 2(AB + AD).AA’
xq = 2(12 + 16)25 = 1400 (cm2) Diện tích một đáy: Sđ = AB.AD = 12.16
= 192 (cm2)
tích toàn phần: s,„ -	+ 2S. = 1400 + 2.192
p 1784 (cm2)
Thế t ’ = abc = AB.AD.AA’
20V2
11. p'
= 12.16.25 = 4800 (cm3)
= 376 => SO ~ 19,4 (cm)
ví) - OD2 = 242 -	---
1 , 2
|.2ũ2.19,4« 2586,6 (cm3)
8
II là trung điểm của CD.
= 476
9	„~9	(20
SH2=SD2-iứi
<2
SH « 21,8 (cm)
Sv„ = p.d « ị.80.21,8 « 872 (cr •")
xq	2
Sd = AB2 = 202 = 400 (cm2)
Nên s't|) = Ssq + sd = 872 + 400 = 1272 (cm2)