Giải toán 7 Bài 4. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

§4. TRƯỜNG HỢP bằng nhau thứ hai của tam giác
CẠNH - GÓC - CẠNH (C.G.C)
A. Tóm tắt kiến thức
Trường họp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh (c.g.c)
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
AB = A'B'
B = B'
>=> AABC = AA'B'C'(c.g.c) .
BC = B'C’
Hệ quả. Nếu hai cạnh góc'vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho A ABC, gọi M. N là trung điểm của AB. AC. Trên tia đối của tia MC lấy điểm K sao cho MK - MC. a) Chứng minh A AMK = A BMC.
Trên tia đối của tịa NB lấy điểm I sao cho NI = NB. Chứng minh AI = BC.
Chứng minh A là trung điểm của IK.
g.c).	B	c
Xét A AMK và A BMC có:
AM = MB (giả thiết),
MC = MK (giả thiết),
Mị = M? (đối đỉnh),
do đó A AMK = A BMC (c.
Xét A ANI và ACNB có:
AN - CN (giả thiết), Nj = Nọ (đối đinh), NI = NB (giả thiết)
do đó AANI = ACNB(c.g.c). Suy ra AI = BC.
A AMK = A BMC (chứng minh trên) nên K| - c2 , AK = BC.
Hai góc Kị và Cọ ở vị trí so le trong nên AK//BC. (1)
A ANI = A CNB (chứng minh trên) nên Ij = B-, , mà hai góc ó' vị trí so le trong nên AI // BC.	(2)
Tir (1) và (2) suy ra I, A, K thẳng hàng (tiên đề ơ-clít).
Mặt khác AK = AI (= BC) nên A là trung điểm của IK.
Nhận xét. Sai lầm dễ mắc của một số bạn trong bài trên là mới chứng minh được AI = AK đã vội kết luận A là trung điểm của IK.
c. Hướng dẫn giỏi bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 24. (Bạn đọc tự vẽ hình) - Vẽ góc xAy = 90°.
Trên tia Ax vẽ đoạn thẳng AB = 3cm.
Trẽn tia Ay vẽ đoạn thẳng AC - 3cm.
Vẽ đoạn thẳng BC.
Dùng thước đo góc, ta đo được B = c = 45° .
Bài 25. Hình 82 (SGK). Xét A ADB và A ADE có:
AB = AE (giả thiết), Aj = A2 , AD cạnh chung.
Suy ra A ADB = A ADE (c.g.c).
Hình 83 (SGK). AHGK và AIKG có:
HG = IK (giả thiết), G = K , GK cạnh chung (giá thiết).
Suy ra AHGK = AIKG (c.g.c).
Hình 84 (SGK). APMQ và APMN có: MP cạnh chung, M| = Mọ , nhưng MN không bằng MQ nên APMQ không bằng APMN.
Nhận xét. Khi xét hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c hay không, chúng ta phải chú ý yếu tố góc xen giữa.
Bài 26. Thứ tự sắp xếp là: 5), 1), 2), 4), 3).
AAMBvà A EMC có:
MB = MC (giả thiết),
AMB = EMC (hai góc đối đinh),
MA = ME (giả thiết).
Do đó AAMB= AEMC(c.g.c).
A AMB = A EMC => MAB = MEC (hai góc tương ứng).
MAB = MEC => AB // CE (có hai góc so le trong bằng nhau).
Bài 27. Hình 86 (SGK). Thèm BAC = DAC thì AABC = AADC(c.g.c).
Hình 87 (SGK). Thêm MA = ME thì AAMB = AEMC(c.g.c).
Hình 88 (SGK). Thêm AC = BD thì ACAB = ADBA (c.g.c).
Bài 28. Ta tính được D = 180° -80° -40° = 60° . AABC và AKDE có:
AB = KD (giả thiết), B = d(=60°), BC = DE (giả thiết).
Do'đó AABC - AKDE(c.g.c).
Chú V
- AABC và AMNP có AB = MN, BC = NP nhưng đề bài không cho B = N nên ta không kết luận được AABC = AMNP.
- AABCvà ANMPcó AB = NM, B = M nhưng đề bài không cho BC = MP nên ta không kết luận được AABC = ANMP.
Bài 29. Ta có AC = AD + DC, AE = AB + BE mà AD = AB, DC = BE nên AC = AE. A ABC và A ADE có:
AC = AE (chứng minh trên),
A chung,
AB = AD (giả thiết).
Vậy AABC= AADE (c.g.c).
Bài 30. Góc ABC không phải là góc xen giữa hai cạnh BC và CA, góc A'BC không phải là góc xen giữa hai cạnh BC và 'CA'. Do đó không thể sử dụng trường hợp cạnh - góc - cạnh để kết luận A ABC = AA'BC được.
Bài 31. AMHA và AMHB có:
MH: cạnh chưng;
MHA = MHB = 90° (định nghĩa đường trung trực); HA = HB (định nghĩa đường trung trực).
Do đó AMHA = AMHB (c.g.c) suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).
Bài 32. AAHB = AKHB(c.g.c) => ABH = KBH => BH là tia phân giác của góc B.
AAHC = AKHC(c.g.c) => ACH = KCH =>CH là tia phân giác của góc c.
Ngoài ra còn có: HA và HK là các tia phàn giác của góc bẹt BHC; HB và HC là các tia phân giác của góc bẹt AHK.
D. Bài tạp luyện thêm
Cho A ABC = ADEF. Gọi M, N lấn lượt là trung điểm của BC, EF. Chứng minh AM = DN.
Cho góc xOy (khác góc bẹt). Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Tia phân giác Oz cúa góc xOy cắt AB tại c.
Chứng minh A AOC - A BOC, từ đó suy ra oc ± AB.
Trên tia đối của tia co lấy điểm D sao cho CD = co.
Chứng minh AD = BO, AD // BO.
Gọi M là trung điếm AD; N là trung điểm OB. Chứng minh M, c, N thẳng hàng.
Cho A ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt AC tại D.Trên BC lấy M sao cho BM = BA. Chứng minh DM ± BC.
Cho A ABC nhọn. Kẻ BD. 1 AC (De AC), CE1 AB (E e AB). Trên tia đối tia BD lấy điểm p sao cho BP = AC, trên tia đối của tia CE lấy điểm Q sao cho CQ = AB. Chứng minh AP = AQ, AP ± AQ.
Cho A ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm cúa AB, AC. Trên tia đối của tia ED lấy điểm F sao cho EF = ED. Chứng minh:
BD = CF, AB // CF.
ABCD= AFDC.
DE // BC.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên cạnh Ox lấy điểm A và B (OA < OB). Trên cạnh Oy lấy điểm c và D sao cho oc = OA, OD = OB.
Chứng minh:
A OAD = A OCB.
AACB= ACAD.
Lỏi giải - Hướng dẩn - Đáp sô
1. A ABC = ADEF nên AB = DE, B = Ê , BC = EF.
Mặt khác BM = MC = ịBC, EN = NF = ẬeF nên BM = EN. 2 2
nên A ABM = ADEN (c.g.c). Suy ra AM = DN.
Nhận xét. Đoạn thắng AM gọi là đường trung tuyến của AABC. Như vậy hai tam giác bằng nhau thì hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau, a) Xét AAOCvà ABOCcó:
OA = OB (giả thiết), AOC = BOC (giả thiết), oc cạnh chung.
Do đó A AOC = ABOC (c.g.c), suy ra ACO = -BCO (góc tương ứng). Mặt khác Ácồ + BCO = 180° (kề bù).
Suy ra Ấcò = BCO = 90° hay AB 1 oc.
Xét AACD và ABCO có:
AC = BC (vì A AOC = A BOC);
ACD = BCO. (đối đỉnh);
CD = CO (giả thiết).	o
Do đó A ACD = ABCO (c.g.c). Suy ra AD = OB, ABC = BOC, mà hai góc ớ vị trí so le trong nên AD // BO.
Xét AMCD và ANCOcó:
MD = ON(vì ịAD = ịoB);
2 2
ADC - BOC (chứng minh trên);
oc = DC (giả thiết).
Do đó ADCM = AOCN (c.g.c) suy ra Cj = Cọ.
Mặt khác c, + MC0 = 180° nên c2 + MCO = 180° .
Vậy M, c, N thẳng hàng.
Nhận xét. Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh hai đoạn thẳng nối ba điểm đó tạo thành một góc có số đo bằng 180°.
Xét AABD và AMBDcó:
BA = BM (giả thiết);
Bị = B, (giả thiết);
BD là cạnh chung.
Do đó AABD= AMBD (c.g.c),
suy ra BMD = BAC hay BMD = 90° => DM 1 BC . A
Nhận xét. Để chứng minh một góc vuông, ta có thể chứng minh góc đó bằng một góc vuông sẵn có, bằng cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Từ các tam giác BDA, CEA vuông suy ra B| = C| (cùng phụ với A2 ). Mặt khác B, + IĨ2 - 180° (kề bù), q +C, = 180° (kề bù)
nên Bọ = c7 .
Xét AABPvà AQCAcó:
BP = AC (giả thiết); Bọ = Cọ (chứng minh trên); AB = CQ (giả thiết). Do đó AABP= AQCA (c.g.c).
Suy ra AP = AQ; Q = A3 .
=> PAQ = A3 + A2 + Aị
= Q + aZ +A, =90°
(vì A AEQ vuông) hay AP 1AQ.
Nhận xét. Để chứng minh AP = AQ, ta thấy AABP và AQCA có hai cặp cạnh bằng nhau nên ta tìm cách chứng tỏ cặp góc xen giữa bằng nhau.
a) Ta dễ chứng minh được AADE = ACFE (c.g.c). Suy ra AD = CF
=> BD = CF , A = FCE, mà hai góc ớ vị trí so le trong nên CF // AB.
b) Xét A BDC và A FCD có: BD - FC (chứng minh trên);
BDC = FCD (do AB // CF); CD là cạnh chung.
Do đó ABDC = AFCD.
ABDC = AFCD (chứng minh trên) nên D) = Cj , mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra DE // BC.
a) Chứng minh tương tự bài 29 (SGK), ta có AOAD= A OCB. b) Xét AACB và ACAD có:
AC là cạnh chung;
AD = CB (vì A OAD = A OCB);
AB = CD (vì OB = OD, OA = OC). nên AACB= ACAD (c.c.c).