Giải toán 7 Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)

§5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC
GÓC - CẠNH - GÓC (G.C.G)
A. Tóm tắt kiến thức
1. Trường họp bằng nhau góc - cạnh - góc
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
AABC = AA'B'C’(g.c.g)
B = B'
BC = B'C' C = C'
Trường họp bằng nhau cạnh huyền - góc nhọn của tam giác vuông
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Ẩ = b = 90° BC = EF C = Ê
> => AABC = ADEF (cạnh huyền - góc nhọn)
B.ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho A ABC = A DEF. Gọi AI và DK lần lượt là tia phân giác góc A và góc D (ĩ eBC; K e EF). Chứng minh rằng AI = DK.
Giải. AABC
ADEF => Â = D , mà Aị=A2=-Â (giả thiết),
D| = Dọ = D (giá thiết) nên Aị = D[ .
Xét AABIvà ADEKcó: Aj = Dị ; AB = DE; B = Ê.
Nên AABI = ADEK (g.c.g). Suy ra AI = DK.
Nhận xét. Nếu có hai tam giác bằng nhau, ta nên suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau. Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, nhất thiết phải có ít nhất một cặp cạnh bằng nhau.
c. Hưóng dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 33. (Bạn đọc tự vẽ hình)
Vẽ đoạn thắng AC = 2cm.
Trên cùng một nửa mặt phảng bờ AC vẽ các tia Ax và Cy sao cho CAx = 90°, ACy = 60° , chúng cắt nhau tại B.
Bài 34. a) AABC = AABD(g.c.g).
b) Bị = C| => Bọ = Cọ,
AABD = AACE(g.c.g),
AADC = AAEB(g.c.g).
Bài 35. a) AAOH và ABOH có:
AOH = BOH (già thiết);
OH cạnh chung;
AHO = BHO = 90° (giả thiết). Nên AAOH = ABOH (g.c.g). Suy ra OA = OB. b) AAOC và ABOC có:
OA = OB (chứng minh trên); AOC = BOC (giả thiết); oc cạnh chung. Nên AAOC= ABOC(c.g.c).
Suy ra CA = CB (cạnh tương ứng), OAC = OBC (góc tương ứng).
Bài 36. AOACvà AOBDcó:
OAC = OBD (giả thiết), OA = OB (giả thiết), ô là góc chung.
Do đó AOAC = AOBD (g.c.g), suy ra AC. = BD.
Bài 37. Hình 101 (SGK). Ta tính được Ê = 40°, AABC = AFDE(g.c.g).
Hĩnh 102 (SGK). AGHI không bằng AMLK mặc dù có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc bằng nhau (hai cặp góc bằng nhau không kề với cặp cạnh bằng nhau).
Hỉnh 103 (SGK)
Ta tính được QNR = PRN = 80°, ANQR = ARPN (g.c.g).
Bài 38. Nối AD. Xét AADB và ADACcó:
Aị = Dj (so le trong, AB // CD);
AD: cạnh chung;
D, = Aọ (so le trong, AC // BD).
Do đó AADB = ADAC(g.c.g)suy ra: AB = CD, BD = AC.
C//ỈÍ V. Từ bài toán trên, ta suy ra: Nếu hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì chúng bằng nhau.
Bài 39. Hình 105 (SGK). AAHB = AAHC(c.g.c).
Hình 106 (SGK). ADKE = ADKF(g.c.g).
Hình 107 (SGK). AABD = AACD (cạnh huyền - góc nhọn). Hình 108 (SGK). AABD = AACD (cạnh huyền - góc nhọn). => AB = AC, DB = DC.
Bài 40.
Bài 41.
Bài 42.
Bài 43.
ADBE = ADCH(g.c.g).
AABH = AACE (chẳng hạn g.c.g).
Hai tam giác vuông BME, CMF có:
BM = MC (giả thiết);
BME = CMF (đối đỉnh).
Do đó A BME = A CMF (cạnh huyền - Suy ra BE = CF.
ABID = ABIE (cạnh huyền - góc nhọn) =^> ID = IE .
ACIE = ACIF (cạnh huyền - góc nhọn) => IE = IF .
Vậy ID = IE = IF.
Các tam giác AHC và BAC có: AC cạnh chung; c là góc chung; AHC = BAC(= 90° j. nhưng hai tam giác AHC và BAC không bằng nhaủ vì góc AHC không phải là góc kề với cạnh AC.
AOAD = AOCB(c.g.c) => AD = BC .
AOAD = AOCB (câu a) => D = B, Aị
Do đó Aọ = Cọ .
Dễ thấy AB = CD.
Suy ra AEAB = AECD(g.c.g).
AEAB = AECD (câu b) => EA = EC.
AOAE = AOCE(c.c.c) => Ấõì = COE => OE là tia phân giác của góc xOy.
Bài 44.
Bài 45.
AABD và AACD có B = C, Aị = A2
nên D[ = Dợ. Vậy AABD = AACD (g.c.g).
AABD = AACD (câu a) suy ra AB = AC.
Nhận xét. Từ bài toán trên, ta suy ra: "Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau".
AAHB = ACKD(c.g.c) => AB = CD,
ACEB = AAFD(c.g.c) => BC = AD .
AABD = ACDB(c.c.c) => ABD = CDB
=> AB // CD (có hai góc so le trong bằng nhau).
A
A	F
D. Bài tạp luyện thêm
Cho AB // CD, AD // BC. Chứng minh AB = CD; AD = BC.
Gọi o là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OA = oc, OB = OD.
Cho A ABC có A = 60° . Tia phân giác góc B và góc c cắt cạnh AC, AB tại D, E và cắt nhau tại o. Chứng minh rằng OD = OE.
Cho A ABC có AB = AC. Kẻ BD 1AC, CE 1 AB. Gọi H là giao điểm BD và CE. Chứng minh:
a) A ABD = A ACE.	b) A BEH = A CDH.
Cho A ABC vuông tại A có AB = AC. Lấy M thuộc BC (BM > MC ). Kẻ BD và CE vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:
a) A ABD = A CAE.	b) BD - CE = DE.
Lời giải - Hướng dần - Đáp sô
Xét A ABC và A CDA có:
At = Cị (so le trong); AC là cạnh chung; c2 = A2 (so le trong).
Do đó A ABC = A CDA (g.c.g) => AB = CD, AD = BC.
Xét A ABO và ACDO có:
Aj = Cj (so le trong);
AB = CD (chứng minh trên);
Bị = Dị (so le trong).
Do đó A AOB = A COD (g.c.g). Suy ra AO = CO; BO = DO
AABCcó A + B + C = 180°
mà A = 60° nên B + C = 120°.
Tacó B^+Q = ịê+ịc = 60°.
2 2
ABOCcó BOC + B, + c, =180°
nên BOC = 120°, Oj =60°.
Kẻ Ox là tia phân giác của góc BOC thì Oọ = 03 = 60°.
Gọi I là giao của tia Ox với BC. Xét A BEO và A BIO có:
Bj = B2 (giả thiết); Oj = Oọ (= 60°); BO là cạnh chung.
Do đó A BEO = ABIO (g.c.g). Suy ra OE = OI.
Chứng minh tương tự ta có A COD = A COI nên OD = OI.
Vậy OE = OD (= OI).
Nhận xét
Đế’ chứng minh OE = OD, ta chưa thể ghép chúng vào hai tam giác nào bằng nhau được. Do vậy ta nghĩ đến cách kẻ đường phụ. Cho sô' đo góc A, ta liên hệ với bài đã biết nên tính được số đo góc BOC và góc BOE nên dựng được điểm I.
Bài toán còn có cách khác là lấy điểm I trên BC sao cho BI = BE, sau đó chứng minh A BOE = A BOI rồi chứng minh A COD = A COI.
Từ cách trên ta còn suy ra một kết quả đẹp là BE + CD = BC.
AABC cân tại A «•
AABC AB = AC'
a) Xét AADBvà AAECcó:
ADB = ẤẼC = 90°; AB = AC (giả thiết); Ầ chung. Do đó A ABD = A ACE (cạnh huyền - góc nhọn), b) A ADB = A AEC nên AE = AD,
mà AB = AC (giả thiết) nên BE = CD.
Xét ABEH và ACDH có:
BEH = CDH = 90°; BE = CD; ặ = Cị (cùng phụ với  ).
Do đó ABEH = ACDH (g.c.g).
a) Xét AABD và ACAE có:
BDA = AẼC = 90°;
AB = AC (giả thiết);
Bị = Aj (cùng phụ với Aọ ).
Do đó AABD = ACAE (cạnh huyền - góc nhọn), b) A ABD = A CAE nên BD = AE, AD = CE.
Do đó BD - CE = AE - AD. Vậy BD - CE = DE.
Nhận xét. Để chứng minh một đoạn bằng tổng hay một hiệu hai đoạn thẳng, ta thường biến đổi ba đoạn thẳng đó bằng ba đoạn cùng nằm trên một đường thẳng và sử dụng cộng, trừ đoạn thẳng.