Giải toán 7 Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
A. Ví dụ giải toán
rC
Ví dụ. Cho A ABC. Gọi M là trung điếm cạnh BC. Trên tia đối cúa tia MA lấy điếm D sao cho MD = MA. Từ D vẽ tia Dx vuông góc với BC tại E, trên tia Dx lây điểm K sao cho E là trung điếm của DK. Chứng minh rằng:
AC // BD.
MA = MK.
AK//BC.
Qiải. a) AAMC và ADMB có:
BM - MC (giá thiết); MA = MD (giả thiết); AMC = BMD (đối đỉnh).
Do đó A AMC = A DMB (c.g.c) nên Cị = B[ , mà hai góc ớ vị trí so le trong suy ra AC // BD. b) AMKE và AMDEcó:
MEK = MED = 90°; KE = ED (giá thiết); ME là cạnh chung. Do đó A MKE = A MDE (c.g.c) nên MK = MD.
Mặt khác MA = MD nên MA = MK.
A MDK cân nên D| - K| ; A MAK cán nên MAK = Ki .
A AKD có D, + MAK + AKD = 180°, hay
Kị + f?2 + AKD = 180° => 2.AKD = 180° => AKD = 90°
Suy ra AK ± KD, do đó AK // BC (cùng vuông góc KD).
N/ụìn xét. Qua lời giái của bài toán, chúng ta có thèm cách nhận biết tam giác vuông: Trong một tam giác, đường trung tuyến bằng nứa cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác vuông.
B. Hưống dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 67. Câu 1 đúng. Càu 2 đúng.
Càu 3 sai. Chắng hạn trong tam giác vuông, góc lớn nhất là góc vuông.
Càu 4 sai. Sửa lại cho đúng: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Câu 5 đúng.
Càu 6 sai. Chảng hạn có tam giác càn mà góc ớ đính bãng 100°.
Bài 68. Các câu a, b được suy ra từ định lí "Tống ba góc của một tam giác bằng 180°".
Câu c được suy ra tù' định lí "Trong tam giác cân, hai góc ớ đáy bằng nhau".
Càu d được suy ra từ định lí "Nếu một tam giác có hai góc băng nhau thì tam giác đó là tam giác cán".
Bài 69. (bạn đọc tự vẽ hình)
AABD = AACD(c.c.c) => BAD = CAD.
Gọi H là giao điểm của AD và a. Ta có AAHB = AAHC(c.g.c), từ đó chứng minh được AH ± a, tức là AD ± a.
Bài 70. a) AABC càn Bị = c, => ABM = ACN.
=> AH = AK
ABHM = ACKN (câu b), suy ra: Bọ = c2 => B3 = C3
=> AOBC là tam giác cân'.
AABC cân có BAC = 60°nên là tam giác đều suy raB) =Cj = 60° . AABM có AB = BM (cùng bằng BC) nên là tam giác cân,
do ABM = 120° nên M = 180 -Ị2Q- = 30°.
2
Tương tự N = 30°.
AAMN có M = N = 30° , MAN = 120°.
AMHB vuông có M = 30° nên B2 = 60°, suy ra B3 = 60°, AOBC cân
Vậy AABC là tam giác vuông cân. Bài 72. Xem hình vẽ.
HB2 = AB2 - AH2 = 52 -32 = 16; HB = 4m; HC = 10 - 4 = 6 (m).
AAHC vuông tại H nên: AC2 = AH2 + HC2 = 32 + 62 = 45 .
Suy ra AC = V45 « 6,7(m).
Độ dài đường trượt ACD bằng: 6,7 + 2 = 8,7 (m), chưa bằng hai lần đường lên BA.
Vậy Vân đúng, Mai sai.
c. Bài tạp luyện thêm
Cho A ABC có AB < AC và tia phân giác AD (De BC). Trên AC lấy E sao cho AE = AB. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC.
Chứng minh: DB = DE, BF = CE.
Chứng minh: F, D, E thẳng hàng.
Chứng minh: BE // FC và AD T FC.
Chứng minh góc ADC là góc tù.
Cho A ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Gọi I là trung điểm đoạn tháng AM. Trên tia CI lấy điểm N sao cho CN = 2.CI.
Chứng minh AN // BC.
Trên tia BI lấy điểm K sao cho BK = 2.BI. Chứng minh A là trung điểm của NK.
Cho A ABC có A = 90° ; B = 50° . Tia phán giác của góc B cắt AC ở D.
Tính số đo góc BDC ?
Lấy điểm H trên tia BC sao cho BH = BA.
Chứng minh ABDH = ABDA.
Lấy điểm E trên tia BH sao cho EAD = 50°.
Chứng minh: AE // DH.
Cho A ABC có BC = 2.AB. Gọi M là trung điểm của BC và D là trung điểm của BM. Chứng minh AC = 2.AD.
A
Lời giải - Hướng dần - Đớp sô'
a) Xét A ABD và A AED có:
AB = AE (giả thiết);
A|=At (giá thiết);
AD là cạnh chung.
Do đó Á ABD = A AED (c.g.g) nên BD = ED.
Ta có AF = AC, AB = AE => BF = CE.
A ABD = A AED (chứng minh trên) nên B| = E| => B? = E-> .
Xét A BDF và A EDC có: BD = ED;	; BF = EC.
Do đó A BDF = A EDC (c.g.c) nên Dị = D, .
Mặt khác BDE + dJ =480°, suy ra BDE + D, =180° hay F, D, E thảng hàng.
Gọi giao điểm cúa đường thắng AD và CF là I.
Xét A AFI và A AC1 có: AF = AC; Aị = At ; AI chung,
do đó A AIF = AAIC (c.g.c) nên AIF = AIC , mà AIF +AIC = 180° suy ra ÁĨẼ = Áĩc = 90° => AI ± CF .
Chứng minh tưomg tự AD ± BE, do đó BE// FC.
AB = AE, AB E nằm giữa A và c.
Suy ra ADE ADB ADC > 90°.
a) Xét A AIN và A MIC có:
AI = IM (giả thiết);
I| = It (đối đinh);
IC = IN (giả thiết).
Do đó A AIN = A MIC (c.g.c), do đó N| = C| , mà hai góc ở vị trí so le trong, vậy AN // BC.
b) Chứng minh tương tự A AIK = AMIB (c.g.c)
=> AK = BM và AK // BC. Mà AN // BC nên N, A, K thảng hàng.
Mặt khác AN = MC (vì A AIN = A MIC), AK = BM và MC = BM (giá thiết) nên suy ra AN = AK. Vậy A là trung điểm của NK.
ABAD= ABHD(c.g.c).
A BAD = A BHD nên BHD = BAD => BHD = 90° => BC 1 DH .
Xét A ACE có ỂÂẼ) + C = 50° + 40° = 90° nên A ACE vuông tại E => AE ± BC. Suy ra DH // AE (vì cùng vuông góc BC).
4, Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA.
Dễ có AADB = AEDM (c.g.c) nên AB = ME. ABD = EMD .
Suy ra ME = AB = MC = ị BC.
2
Mặt khác EMA = EMD + DMA
CMA = ABD + BAM (góc ngoài tam giác)
DMA = BAM (AABM cân)
Từ đó suy ra AME = AMC .
' Do đó AAME = AAMC (c.g.c) => AC = AE = 2.AD.
Nhận xét. Về mặt phương pháp rất tự nhiên, muốn chứng minh đoạn thẳng AC = 2.AD, ta cần tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AD sau đó chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.