Giải toán 7 Bài 7. Định lí Py-ta-go

§7. ĐỊNH LÍ PY- TA- GO
A Tóm tốt kiến thức
Định lí Py- ta- go
bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì
tam giác đó là tam giác vuông.
AABC : BC2 = AB2 + AC2 => BAC = 90° .
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho A ABC vuông tại A. Lấy D là trung điểm của AB. Từ D hạ DE vuông góc xuống BC. Chứng minh: EC2 - EB2 = AC2.
Giải. Vận dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ta có:
A	c
EC2 = DC2 - DE2, BE2 = BD2 - DE2 .
Suy ra EC2 - BE2 = (DC2 - DE2) - (BD2 - DE2)
=> EC2 - EB2 = DC2 - BD2	D
=> EC2 - EB2 = DC2 - AD2 (vì BD = AD)
=> EC2 - EB2 = AC2.
Nhận xét. Đế chứng minh đắng thức chỉ chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng, chúng ta sử dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông, chú ý tạo ra vế trái, rồi biến đổi đại số tạo ra vế phải.
c. Hưống dẫn giải bài tạp trong sách giáo khoa
Bài 53. a)x2 = 52 +122 = 25+144 = 169 = 132. Vậy X =13.
X2 =l2+22 =1 + 4 = 5. Vậy X = 7? .
X2 = 292 -212 = 841 — 441 = 400 = 202. Vậy X = 20.
X2 =(V7)2 + 32 = 7 + 9 = 16 = 42. Vậy X = 4.
Nhận xét. Trong tam giác vuông, nếu biết độ dài hai cạnh, ta luôn tính được độ dài cạnh còn lại bằng cách vận dụng định lí Py-ta-go.
Bài 54. Theo định lí Py-ta-go, ta có: AB2 + BC2 = AC2 nên
AB2 = AC2 - BC2 = 8,52 - 7,52 = 16. Vậy AB = 4 (m).
Bài 55. Đặt chiều cao bức tường là X. Theo định lí Py-ta-go, ta có: X2 +12 = 42 nên X2 = 15 => X = y/\5 - 3,87(m).
Bài 56. a) 92 = 81; 152 =225; 122 =144. Ta thấy 225 = 81 + 144 nên tam giác có ba cạnh 9cm; 15cm; 12cm là tam giác vuông.
52 =25; Ỉ32 = 169; 122 = 144. Ta thấy 169 = 25 + 144 nên tam giác có ba cạnh 5cm; 13cm; 12cm là tam giác vuông.
72 =49; 102 = 100. Ta thấy 100^49 + 49 nên tam giác có ba cạnh bằng 7, 7, 10 không là tam giác vuông.
Nhận xét
Qua bài ta nhận thấy, để chứng minh một tam giác vuông có thể vận dụng định lí Py-ta-go đảo.
Để biết tam giác có vuông hay không, ta phải so sánh tổng bình phương độ dài hai cạnh nhỏ với bình phương độ dài cạnh lớn nhất.
Bài 57. Lời giải trên là sai. Sửa lại như sau:
AB2 + BC2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289; AC2 = 172 = 289.
Ta thấy AB2 + BC2 = AC2 nên tam giác ABC vuông tại B.
Nhận xét. Bạn Tâm sai ớ chỗ không so sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng bình phương cua hai cạnh còn lại.
Bài 58. Gọi d là đường chéo cua tủ, h là chiều cao của nhà. Ta thấy:
d2 =202+42 = 416 => đ = 7416 ; h2 = 212 = 441 => h = Tĩĩĩ.
Suy ra d < h. Nhir vậy, khi anh Nam đẩy tủ cho thắng đứng, tủ không bị vướng vào trần nhà.
Bài 59. Theo định lí Py-ta-go: AC? = AD2 + CD2 =>AC2 = 482 + 362 = 3600 => AC = 60 cm.
Bài 60. AAHC vuông tại H nên theo định lí Py-ta-go
AC2 = AH2+HC2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202 .
Do đó AC = 20cm.
AAHB vuông tại H nên:
BH2 =AB2-AH2 = 132 -122 =169-144 = 25 = Vậy BH = 5cm.
Suy ra BC = BH + HC - 5 + 16 = 21 (cm).
Bài 61.
Bài 62.
AB2 =22 + l2 = 5=>AB = 75 ;
BC2 = 32 +52 = 34 => BC = 734; CA2 = 32+42 = 25 => CA =5. OA2 = 32 + 42 = 25 => OA = 5 < 9.
oc2 = 62 + 82 = 100 => oc = 10 > 9.
OD2 = 32 +82 = 73 ==> OD = 773 < 9.
OB2 = 42 + 62 = 52 => 752 < 9 .
Như vậy, con Cún có thế tới các vị trí A, B, D, nhưng không tới được vị trí c.
D. Bài tập luyện thêm
Cho A ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC.
Chứng minh: BM2 = BC2 --AC2.
4
Cho A ABC có góc B và góc c nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết AB = 20cm, BH = 16 cm, HC = 5cm. Tính AH, AC.
Cho A ABC cân tại A có Â < 90°. Kẻ BH vuông góc với AC.
Chứng minh làng AB2 + AC2 + BC2 = 3BH2 + 2AH2 + CH2 .
Cho A ABC vuông cân tại đinh A. Qua A kẻ đường thẳng xy bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Kẻ BM và CN vuông góc vởi xy. Chứng minh:
AACN = ABAM.
CN + BM = MN.
BM2 + CN2 không phụ thuộc vào vị trí xy.
Tìm điều kiện xy để A là trung điểm MN. c Lòi giải - Hướng dẫn - Đáp số
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:	M
BM2 = AB2 +AM2
A	7	B
. => BM2 = BC2 - AC2 + AM2 => BM2 = BC2 - AC2 +^~ ,
4
hay BM2 =BC2--AC2.
4
A ABH có H - 90° , theo định lí Py-ta-go ta có AH2 + BH2 = AB2 =>' AH2 +162 = 202 => AH2 = 144 =>AH = 12 (cm).
161
A AHC có H = 90° , theo định lí Py-ta-go, ta có:
11 ĐHTT7/1-A
AC2 =AH2 + HC2=>AC2 = 122 +52 => AC2 = 169^-AC= 13 (cm). Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông ABH, BCH (ạ có: AB2=BH2+AH2	(1)
BC2=BH2+CH2	(2)
AC2 = BH2 + AH2 (vì AB	= AC )	(3).
Cộng từng vê' (1), (2), (3), ta có:
4.
AB2 + AC2 + BC2 = 3BH2 + 2AH2 + CH2 .
Tacó Bj + A2 =90°; Aj +A0 =90° nên Bị = A|B.
A BAM và A ACN có
M = N.(=90°); ặ =Aj; AB = AC.
Nên A BAM = A ACN	ỊvỊ
(cạnh huyền - góc nhọn).
A BAM = A ACN nên BM = AN, AM = CN, suy ra: BM + CN = AN + AM = MN.
Ap dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông BAM, ta có:
BM2 + AM2 = AB2 hay BM2 + CN2 = AB2.
Suy ra BM2 + CN2 không phụ thuộc vào vị trí xy.
A BAM = A ACN nên BM = AN, AM = CN.
Ta có AM = AN AN = CN , hay A ACN vuông cân tại N, hay
Aj =45° xy//BC.
Nhận xét
Để chứng minh một biểu thức hình học không phụ thuộc vào vị trí của yếu tố hình học nào đó, ta biến đổi chứng tỏ biểu thức đó bằng kết quả chỉ chứa yếu tố cố định.
Để tìm điều kiện hình học
 thoả mãn yêu cầu nào đó, ta coi yêu cầu đó là giả thiết từ đó s-uy ra điều kiện cần tìm.
Nếu gọi I là trung điểm của BC ta còn .có một kết quả đẹp: AIMN vuông cân.