Giải bài tập Toán 7 §5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)

§5. TRƯỜNG HỘP bằng nhau thứ ba
CỦÂ TAM GIÁC
góc - cạnh - góc (g.c.g)
BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT
?I Vẽ thêm tam giác A'B'C có B'C' = 4cm, ê' = 60°, C' = 40°.
Hãy đo để kiểm nghiệm rằng AB = A'B'. Vì sao ta kết luận được AABC = AA'B'C ?
Hướng dẫn
- Học sinh tự vẽ hình và đo đế kiếm nghiệm AB = A'B'.
?2
33
Kêt luận : AABC = AA'B'C vì chúng có một cạnh và hai góc kề tương ứng bằng nhau.
Tìm các tam giác bằng nhau ở mỗi hình sau.
Hình a : zXABC = ADCB.
Hình b : AOEF = AOGH.
Hướng dẫn
Hình c : AABC = AEDF.
GIẢI BÀI TẬP
Vẽ tam giác ABC biết AC = 2cm, A = 90°, C = 60°.
Giải
Vẽ đoạn thẳng AC = 2cm.
Trong cùng nửa mặt phảng bờ là đường thẳng AC vẽ tia Ax sao cho xAC = 90° và tia Cy sao cho yCA = 60°.
34
đây có các tam giác nào bằng nhau ? Vì sao ?
Trên mỗi hình dưới
Hỉnh b
Ax và Cy cắt nhau tại B.
Giải
• Hình a
Xét AABC và AABD có : BAC = BAD (= n°)
AB : cạnh chung
ABC = ABD (= m°)
Vậy : AABC = AABD (g.c.g)
• Hình b
Ta có : ABD + ABC = 180°, ACE + ACB = 180° (hai góc kề bù) Mà : ABC = ẤCB (gt)
Suy ra : ABD = ACE
BD = CE (gt)
ẤDB = ẤẼC (gt)
Vậy : AABD = AACE (g.c.g).
Xét AACD và AABE có : ADC = AEB (gt)
CD = BE (vì CB + BD = BC + CE) ACD = ẤBỀ (gt)
Vậy : AACD = AABE (g.c.g).
35 Cho góc xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điểm H thuộc Ot, kẻ đường vuông góc với Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự ở A và B.
Chứng minh rằng OA = OB.
Lấy điểm c thuộc tia Ot, chứng minh rằng :
CA = CB và OAC = OBC.
Giải
a) Xét AOHA và AOHB vuông tại H (do Ot 1 AB) OH : cạnh chung
HOA = HOB (Ot là phân giác xOy) /5
Vậy : AOHA = AOHB (g.c.g) => OA = OB. 0
b) Xét ACHA và ACHB vuông tại H (Ot ± AB) có : CH : cạnh chung
AH = BH (AOHA = AOHB)
Vậy : ACHA = ACHB (c.g.c) => CA = CB.
Theo câu trên : OAH = OBH (AOHA = AOHB)
HAC = HBC (ACHA = ACHB)
Suy ra : ỐÃH - HAC = OBH - HBC Vậy : ỐÃC = OBC.
LUYỆN TẬP 1
36
Trên hình bên ta có OA = OB, OAC = OBD. Chứng minh rằng AC = BD.
Giải
Xét AOAC và AOBD có : ô chung
OA = OB (gt)
37
Vậy : AOAC = AOBD (g.c.g) => AC = BD.
Trên mỗi hình dưới đây có các tam giác nào bằng nhau ? Vì sao ?
ÕÃC = ÕÊb (gt)
Lưu ý : Trong một bài toán, khi không ghi đơn vị độ dài, ta quy định rằng các độ dài có cùng đơn vị.
Giải
• Hỉnh a
Tính Ê = 180° - (D + F) (tổng ba góc trong tam giác là 180°) = 180° - (80° + 60°) = 180° - 140° = 40°
Xét AABC và AFDE có : BC = DE = 3
ABC = FDE = 80°
ACB = FED = 40°
Vậy : AABC = AFDE (g.c.g).
38
Hình b
Tạm giác IGH và LMK không bằng nhau vì có một cạnh bằng nhau IG = ML = 3, một góc bằng nhau IGH = LMK = 30° nhưng góc còn lại kề cạnh đó không bằng nhau (HIG * KLM).
Hình c
Áp dụng tổng ba góc trong tam giác là 180°, tính được :
QNR = 180° - (NQR + NRQ) = 180° - (60° + 40°) = 80°
PRN = 180° - (NPR + PNR) = 180° - (40° + 60°) = 80°
Suy ra : QNR = PRN
NR : cạnh chun ; (của AQNR và APNR)
và QRN = PNR = 40°
Do đó : AQNR = APRN (g.c.g).
Trên hình bên ta có AB // CD, AC // BD.
Hãy chứng minh rằng AB = CD, AC = BD.
Giải
Xét hai tam giác ABD và DCA có :
BAD = CDA (so le trong và AB // CD)
AD : cạnh chung
ẢDB - DAC (so le trong và BD // AC)
Do đó : AABD = ADCA (g.c.g)
Suy ra : AB = CD và BD = CA.
39
LUYỆN TẬP 2
B ' " H '
Hỉnh a
Hĩnh b
Trên mỗi hình sau có các tam giác vuông nào bằng nhau ? Vì sao ?
E
Giải
Hình a : Xét AAHB và AAHC vuông tại H (AH ± BC) có :
AH : cạnh chung
HB = HC (gt)
Vậy : AAHB = AAHC (c.g.c).
Hình b : Xét ADKE và ADKF vuông tại K (DK 1 EF) có :
DK : cạnh chung
KDE = KDF (gt)
Vậy : ADKE = ADKF (g.c.g).
Hình c : Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có :
AD : cạnh chung BÂD = CÂÌ) (gt)
Vậy : AABD = AACD (cạnh huyền - góc nhọn).
Hình d : * Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có :
AD : cạnh chung
BAD = CAD (gt)
Vậy : AABD = AACD (cạnh huyền - góc nhọn)
Xét hai tam giác vuông DBE và DCH có :
DB = DC (AABD = AACD)
BDE = CDH (đối đỉnh)
Vậy : ADBE = ADCH (g.c.g)
Xét hai tam giác vuông ABH và ACE có :
AB = AC (AABD = AACD)
A chung
Vậy : AABH = AACE (cạnh góc vuông - góc nhọn).
Giải
A
B
c
Cho tam giác ABC (AB AC), tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với Ax (E e Ax, F e Ax). So sánh BE và CF.
ABEM vuông tại E (BE ± Ax)
ACFM vuông tại F (CF ± Ax)
Hai tam giác vuông BEM và CFM có :
BM = CM (M là trung điểm BC)
BME = CMF (đối đỉnh)
Do đó : ABEM = ACFM (cạnh huyền - góc nhọn)
Vậy : BE = CF.
Giải
c
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và c cắt nhau ở I. Vẽ ID 1 AB (D e AB), IE 1BC (E e BC), IF 1 AC (F e AC). Chứng minh rằng ID = IE = IF.	A
Ta có : <
ABDI vuông tại D (ID 1 AB.
Hai tam giác vuông BDI và BEI có :
ABEI vuông tại E (IE 1 BC)
BI : cạnh chung	B
IBD = IBẺ (do I thuộc phân giác B)
Do đó : ABDI = ABEI (cạnh huyền - góc nhọn)
(1)
(2)
=> ID = IE
Chứng minh tương tự, ta có :
ACEI = ACFI (cạnh huyền - góc nhọn)
=> IE = IF
Từ (1) và (2), ta có : ID = IE = IF.
Cho tam giác ABC có A = 90° (hình bên).
Kẻ AH vuông góc với BC (H e BC). Các /
tam giác AHC và BAC có AC là cạnh /
chung, C là góc chung, AHC = BAC = 90°, L.	□	
*■	B H	c
nhưng hai tam giác đó không bằng nhau.
Tại sao ở đây không thể áp dụng trường hợp góc - cạnh - góc để kết luận AAHC = ABAC ?
Giải
Hai tam giác AHC và BAC không bằng nhau vì góc AHC không phải là góc kề với cạnh AC.
LUYỆN TẬP VỀ BA TRƯỜNG Hựp
BANG NHAU CỦA TAM GIÁC
43 Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm c, D thuộc tia Oy sao cho oc = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng :
a) AD = BC
b) AEAB = AECD
a)
b)
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Giải
Xét AOAD và AOCB có : OA = oc (gt)
0 chung
OB = OD (gt)
Vậy : AOAD = AOCB (c.g.c) => AD = BC.
Do AOAD = AOCB (câu a) nên :
D1 - B1 và Al = C1 do đó A2 = C2
Mà
AB = OB - OA
CD = OD - oc
nên AB = CD (do OB = OD, OA = OC).
Xét AEAB và AECD có : AB = CD
Bl =D1
A2 = C2
Vậy : AEAB = AECD (g.c.g).
c) AEAB = AECD (câu b) => EA = EC
Xét AOAE và AOCE, ta có : OA = oc
Â1 = C1 (cmt)
AE = EC (cmt)
Vậy : AOAE = AOCE (c.g.c)
Suy ra EOA = EOC hay OE là phân giác xOy.
44
Cho tam giác ABC có B = c. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng :
b) AB = AC.
a) AADB = AADC
Giải
Xét AADB và AADC có :
B = C (gt)
Â1 = Â2 (AD là phân giác BAC) (1)
Do đó : D1 = D2	(2)
AD : cạnh chung	(3)
Từ (1), (2), (3), ta có : AADB = AADC (g.c.g).
Ta có : AADB = AADC (câu a) => AB = AC.
Đố : Cho bôn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trên giấy kẻ ô vuông như hình bên. Hãy dùng lập luận để giải thích :
AB = CD, BC = AD
AB // CD.
Giải
a) • Xét hai tam giác vuông AHB và CKD có :
' HB = KD (= Iđvđd)
AH = CK (= 3đvđd)
=> AAHB = ACKD (c.g.c) => AB = CD.
• Xét hai tam giác vuông CEB và AFD có :
CE = AF (= 4đvđd)
BE = DF (= 2đvđd)
=> ACEB = AAFD (c.g.c) => BC = AD.
b) Xét AABD và ACDB, ta có :
AB = CD (AAHB = ACKD)
AD = BC (ACEB = AAFD)
BD : cạnh chung
Suy ra : AABD = ACDB (c.c.c)
Do đó ABD = CDB mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.