Giải bài tập Toán lớp 7: Bài 5. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g. c. g)

§5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA
CỦA TAM GIÁC GÓC - CẠNH - GÓC (G.C.G)
A. KIẾN THỨC Cơ BẲN
Tính châ't
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
AABC và AA’B’C’ có: .
BC = B'C
=x> AABC = AA'B’C'
B = B’
C = C'
Hệ quả
Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC. Qua B kế đường thẳng song song với AC, qua c kẻ đường thẳng J5ong song với AB, chúng cắt nhau ở D. Chứng minh rằng AB = CD, A = B.
A = B (hai góc tương ứng).
Bài tập cơ bản
Vẽ tam giác ABC biết AC = 2cm, A = 90° , C = 60".
Trên mỗi hình 98, 99 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
Cho góc xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điếm H thuộc tia Ot, kế đường vuông góc với tia Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự ở A và B.
Chứng minh rằng OA = OB.	 _____
Lấy điểm c thuộc tia Ot. Chứng minh rằng CA = CB và OAC = OBC
Giải
Cách vẽ:
- Vẽ đoạn thẳng AC = 2cm.
-- Trên cùng một nửa mặt phang bờ AC vẽ các tia Ax và Cy sao cho CAx = 90", ACy = 60". Hai tia cắt nhau tại B. Ta được AABC là tam giác cần vẽ.
Xem hình a)
/AABC và AABD có:
Ai = A2 (gt)
AB cạnh chung.
Bi = B2 (gt)
Nên AABC = AABD (g.c.g)
Xem hình b)
Ta có:	Bi + Ẽ2 = 180° (hai góc kề bù)
Cl + ộ2 = 180° (hai góc kề bù)
Mà B2 = c2 (gt)
Nên Bi = Cl
• AABD và AACE có:
y\
A
Bi = Ci (cmt)
BD = EC (gt)
D = Ê (gt)
Nên AABD = AACE (g.c.g)
• AADC và AAEB có:
D = Ê (gt)
DC = EB
(Vì DC = DB + BC, EB = EC + BC mà DB • & =B2 (gt)_
Nên AADC = AAEB (g.c.g)
a) AAOH và AB OH co:
AOH = BOH (gt)
OH cạnh chung.
Nên AAOH = ABOH (g.c.g)
Vậy OA = OB.
b) AAOC = ABOC có:
OA = OB (cmt)
OAC = OAB (gt) oc cạnh chung.
Nên AAOC - \BOC (c.g.c)
Suy ra CA = CB (cạnh tương ứng)
OAC = OBC (góc tương ứng)
Bài tập tương tự
Cho \ABC có AB - AC. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB (D e AC, E e AB). Gọi o là giao điểm của BD vả CE. Chứng minh:
BD = CE
AOEB = AODC.
AO là tia phân giác của góc BAC.
LUYỆN TẬP 1
Trên hình 100 ta có OA = OB, ỐÃC = OBD.
Chứng minh rằng AC = BD.
Hình 104
Trên mỗi hình 101, 102, 103 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
Trên hình 104 ta có AB // CD, AC // BD.
Hãy chứng minh rằng AB - CD,
AC = BD.
Giải
Xét AOACjvàj\OBD^có:
OAC = OBD ígt)
OA = OB (gt) ogóc chung,
Nên AOAC = AOBD (g.c.g)
Suy ra AC = BD.
Tính các góc còn lại trên mỗi hình ta được:
A = 60" , H = 70" , Ê = 40",
L = 70" , RNQ = 80" , NRP = 80"
Vi B = D(=80") BC = DE (= 3)
c = I (= 40")
ANQR = ARPN (g.c.g)
Vì RNQ = NRP (= 80")
NR cạnh chung.	
NRQ = RNP (=40°)
38. Vẽ đoạn thẳng AD.
AADB và ADAC có:
Ai - Di (so le trong AB // CD) ẠD cạnh chung.
Av = Dv (so le trong, AC // BD)
Do đó AADB = ADAC (g.c.g)
Suy AB = CD, BD = AC.
(các cặp cạnh tương ứng)
LUYỆN TẬP 2
39. Trên mỗi hình 105, 106, 107, 108 có các tam giác vuông nào bằng
Hình 105	Hình 106	Hình 107
Cho tam giác ABC (AB * AC), tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Ké BE
và CF vuông góc với Ax (E e Ax, F G Ax). So sánh các độ dài BE và CF.
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác cúa các góc B và c cắt nhau ở
I. Vẽ ID 1 AB (D G ABh IE 1 BC (E e BC), IF 1 AC (F G AC). Chứng minh rằng ID = IE = IF.
10S
A
B 1	c
Hình 109
góc nhọn)
BE)
DE)
A
Cho tam giác ABC có A = 90" (hình 109). Kế AH vuông góc với BC (H e BC). Các tam giác AHC vậ_ BAC có AC là cạnh chung, c là góc chung, AHC = BAC = 90", nhưng hai tam giác đó không bằng nhau.
Tại sao ỏ' đây không thê áp dụng trường hợp góc - cạnh - góc đê kết luận \AHC = ABAC?
Giải
Hình a
AABH và AACH có:
BH_= CHjgt)
AHB = AHC (= 90")
AH cạnh chung
Vậy AABH = AACH (c.g.c)
Hmh b	___	
ADKE và ADKF có:	EDK = FDK (gt)
DKcanhchung DKE = DKF (=90")
Vậy ADKE = ADKF (g.c.g)
Hình c
Ta có: \ABD = AACD
(cạnh huyền - góc nhọn)
Hình d
Ta có:	AABD = AACD (cạnh huyền -
ADBE = ADCH (g.c.g)
AABH = AACE,
Với nhiều cách giải thích.
Chẳng hạn:	 	
BAH = CAE (= Â)
AB = ACjdo AABD = AACD)
BAH = CAE (= 90")
nên AABH = AACE (g.c.g)
AH = AE (do AC = AB, CH = BAH = CAE (= 90")
AB = AC
Nên AABH - AACE (c.g.c)
BH = CE (do BD = CD? DH = ABH = ACE (=90")
AB = AC
Nên \ABH = AACE (c.g.c)
Hai tam giác vuông BME, CMF co:
BM = MC (gt)
BME = CMF (đối đỉnh)
Nên ABME = ACMF
(cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra BE = CF.
Hai tam giác vuông BID và BIE có
BI cạnh chung Bi = (gt) nên \BID = \BIE (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra ID = IE	(1)
Tương tự ACIE = \CIF
(cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra IE = IF	(2)
Từ (1) và (2) suy ra ID = IE = IF.
Các tam giác AHC vả BAC có:
ẠC cạnh chung C góc chung.
AHC = BAC (= 90")
Nhưng hai tam giác AHC và BAC không phải là góc kề với cạnh AC.
A
không bằng nhau vì góc AHC
45.
43
LUYỆN TẬP VỀ BẠ TRƯỜNG Hựp bang nhau
CỦA TAM GIÁC
Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điếm A, B thuộc tia Ox sao cho
OA < OB. Lấy các điểm c, D thuộc tia Oy sao cho oc - OA, OD = OB. Gọi E là giao điếm cúa AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC;	b) AEAB = AECD;
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Cho tam giác ABC có B = C. Tia phân giác của góc A cắt BC tạ
D. Chứng minh rằng:
AADB = AADC;
AB = AC.
Đố: Cho bốn đoạn thẳng AB, BC, CD,
DA trên giấy kẻ ô -vuông như ở hình 110.
Hãy dùng lập luận đê giái thích:
AB = CD, BC = AD
AB // CD
Giả i
a) aOAD và AOCB có: _ OA = OCJgt)
AOp = COB (= Â)
OD = OB (gt)
Nên AOAD = AOCB (c.g.c)
Suy ra AD = BC. b) AOAD = AOCB (cmt)
Suy ra: D = B
_ Â, = Cl => Â2 = c2 Nên AAEB và ACED có: B = D
AB = CD
Ẩ2 = Cọ
Do đó AAEB = ACED (g.c.g) c) AAEB = \CED (câu b) => EA = EC AOAE và AOCE có:	OA = oc (gt)
EA = EC (cmt)
OE cạnh chung.
Nên AOAE = AOCE (c.c.c)
Suy ra AOE = COE
Vậy OE là tia phân giác của góc xOy.
a) AADB và ,\ACD có:
B=cjgt)	(1)
Ai = A2 (AD là tia phân giác)
Nên D, = D2	(2)
AD cạnh chung.
Do đó AADB = AADC (g.c.g) b) AADB = AADC (câu a)
Suy ra AB = AC.
a) AAHB và ACKD có:
HB - KD
AHB= CKD (= 90°)
AH = CK
Nên AAHB = ACKD (c.g.c)
Suy ra AB - CD.
Tương tự ACEB = AAFD (c.g.c)
Suy ra BC = AD. b) AABD và ACDB có:
AB = CD (câu a)
BC - AD (câu a)
BD cạnh chung.
Do đó AABD = ACDB (c.c.c)
Suy ra ABD = CDB
Vậy AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).