Giải toán 6 Bài 10. Tính chất chia hết của một tổng

§10. TÍNH CHÁT CHIA HÉT CỦA MỘT TÒNG
Tóm tắt kiến thức
số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b 0 nếu có một số tự nhiên k sao cho: a = b . k.
Kí hiệu a chia hết cho b bởi a : b.
Kí hiệu a không chia hết cho b bởi a/b Neu a : b và b : c thì a : c.
Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó: a : m, b : m, c : m => (a + b + c) : m.
Neu a > b, a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a - b cũng chia hết cho số đó: a : m, b : m => (a - b) : m.
Nếu trong tông có một số hạng không chia hết cho số tự nhiên m, còn các số hạng khác đều chia hết chò m thì tổng đó không chia hết cho m: a : m, b : m, c/m => (a + b + c)/m.
0 Lưu ý. Một tổng chia hết cho một số tự nhiên nhưng các sổ hạng của tổng không nhất thiết phải chia hết cho số đó.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Xét xem mồi tống sau có chia hết cho 7 hay không?
49+ 63 + 154;	b) 35 + 14 + 45 + 56.
Giải, a) Vì 49 = 7.7; 63 = 7.9; 154 = 7.22, tức là
49 ỉ 7, 63 : 7, 154 : 7 nên (49 + 63 + 154) : 7.
Vì 45/7, còn 35 : 7, 14 :7, 56 : 7 nên (35 + 14 + 45 + 56)/7.
Ví dụ 2. Xét xem mỗi tổng sau đây và các số hạng của nó có chia hết cho 8 hay không?
a)31+41;	b) 41 + 73 + 6 + 24.
Giải, a) 31+41 =72 = 8.9.
Như vậy tổng 31+41 chia hết cho 8 nhưng các số hạng 31, 41 đều không chia hết cho 8.
41 + 73 + 6 + 24 = 144 = 8.18.
Như vậy tổng này chia hết cho 8 nhưng các số hạng 41, 73, 6 không chia hết cho 8.
Ví dụ 3. Nếu a + b chia hết cho m và a chia hết cho m thì b có chia hết cho m hay không?
Giải. Cách 1. Đặt a + b = c. Khi đó b = c - a. Theo giả thiết a và c đều chia hết cho m. Do đó c - a cũng chia hết cho m. Vậy b chia hết cho m. Cách 2. Giả sử rằng b không chia hết cho m. Vì a chia hết cho m nên a + b không chia hết cho m; trái với giả thiết rang a + b chia hết cho m. Vậy b chia hết cho m.
Ví dụ 4. Tìm X sao cho (34 + 92 + x) : 7 và X < 18.
Giải. Ta có 34 + 92 + X = 126 + X. Nhưng 126 = 7 . 18, tức là 126 :7. Do đó muốn cho (34 + 92 + x) : 7 thì X phải chia hết cho 7. Suy ra X phải có dạng X = 7k.
Vì X = 7k 18 và nếu k > 3 thì 7k càng lớn hơn 18).
Vậy X = 0 hoặc X = 7 hoặc X = 14.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 83. Giải-, a) Vì 48 : 8, 56 : 8 nên (48 + 56) : 8;
Vì 80 : 8, nhưng Y1 nên (80 + 17)/? 8.
Bài 84. Giải'.
Vì 54 và 36 đều chia hết cho 6 nên 54-36 chia hết cho 6.
Vì 60 chia hết cho 6 nhưng 14 không chia hết cho 6 nên 60-14 không chia hết cho 6.
Bài 85. Giải:
Vì 35, 49, 210 đều chia hết chơ 7 nên 35 + 49 + 210 chia hết cho 7.
Vì 42, 140 chia hết cho 7 nhưng 50 không chia hết cho 7 nên 42 + 50 + 140 không chia hết cho 7;
Vì 560 và 18 + 3 đều chia hết cho 7 nên 560 + 18 + 3 chia hết cho 7.
Bài 86. Giải'.
Câu
Đúng
Sai
a) 134.4+ 16 chia hết cho 4
X
b) 21 .8+17 chia hết cho 8
X
c) 3 . 100 + 34 chia hết cho 6
X
Câu b) sai vì 21 .8 chia hết cho 8 nhung 17 không chia hết cho 8.
Câu c) sai vì 300 chia hết cho 6 nhung 34 không chia hết cho 6.
Bài 87. Giải', a) Vì 12, 14, 16 đều chia hết cho 2 nên 12 + 14 + 16 chia hết cho 2. Muốn cho A=12+14+16 + x chia hết cho 2 thì X = A - (12 + 14 + 16) phải chia hết cho 2. Vậy X là mọi số tự nhiên chẵn, b) X là một số tự nhiên bất kì không chia hết cho 2.
Vậy X là mọi số tự nhiên lẻ.
Bài 88. Giải', a) Gọi q là thương trong phép chia a cho 12, ta có a = 12q . + 8. Vì 12 = 4.3 nên 12q = 4.3q. Do đó 12q chia hết cho 4; hon nữa 8 cũng chia hết cho 4. Vậy a chia hết cho 4.
b) Lập luận tương tự ta đi tới kết luận: a không chia hết cho 6.
Bài 89. Giải', a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Bài 90. Giải: a) Neu a : 3 và b : 3 thì tổng a + b chia hết cho 6; 9; 3.
Nếu a :’ 2 và b : 4 thì tổng a + b chia hết cho 4; 2; 6.
Nếu a : 6 và b : 9 thì tổng a + b chia hết cho 6; 3; 9.
D. Bài tập luyện thêm
Xét xem các tổng sau có chia hết cho 9 hay không, giải thích vì sao:
a) 27+ 72 + 54;	b) 81 +45 + 56;
36+ 64+ 180;	d) 18 + 120+ 24.
Nếu hiệu a - b chia hết cho m và a chia hết cho m thì b có chia hết cho m hay không? Vì sao?
a) Chứng tỏ rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp bất kì chia hết cho 3.
Chửng tỏ tổng ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 6.
Tìm X thoả mãn điều kiện 36 + 42 + 48 + 54 + X chia hết cho 6 và 54<x<63.
Tìm số tự nhiên X sao cho 2x3x chia hết cho 7.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
a) Có, vì 27, 72, 54 đều chia hết cho 9.
Không, vì 81, 45 chia hết cho 9 nhưng 56 không chia hết cho 9.
Không, vì 36, 180 chia hết cho 9 nhưng 64 không chia hết cho 9.
Có, vì 18 chia hết cho 9 và 120 + 24 = 144 chia hết cho 9.
b cũng chia hết cho m. Thật vậy, đặt c = a - b. Khi đó b = a - c. Vì a và c đều chia hết cho m nên b cũng chia hết cho m.
a) Giả sử n là số tự nhiên nhỏ nhất trong ba số tự nhiên liên tiếp. Thế thì ba số đó là n, n + 1, n + 2. Ta có
n + n+ 1 + n + 2 = 3n + 3.
Vì 3n và 3 đều chia hết cho 3 nên 3n + 3 chia hết cho 3.
Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3. b) HD: Giả sử n là số tự nhiên nhỏ nhất trong ba số tự nhiên chẵn liên tiếp. Thế thì ba số đó là n, n + 2, n + 4. Vì n là số chẵn nên nó có dạng n = 2k.
HD\ Vì 36, 42, 48, 54 đều chia hết cho 6 nên muốn cho tổng 36 + 42 + 48 + 54 + X chia hết cho 6 thì X phải chia hết cho 6.
ĐS: X = 60.
HD\ Viết 2x3x thành tổng những số hạng chia hết cho 7.
2x3x = 2.1000+ x.100 + 3.10 + x = 2030 + x(7 . 14 + 2) + X =
= 7.290 + 7 . 14x + 2x + X = 7(290 + 14x) + 3x.
Vì 7(290 + 14x) chia hết cho 7 nên muốn cho 2x3x : 7 thì 3x : 7. Nhưng X là một chữ số nên X < 10. Do đó X = 0 hoặc X = 7.
Với X = 0 thì 2x3x = 2030 = 7.290.
Với X = 7 thì 2x3x = 2737 = 7.391.