Giải toán 6 Bài 16. Ước chung và bội chung

§16. ước CHUNG VÀ BỘI CHUNG
Tóm tắt kiến thức
ƯỚC chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là: ƯC(a, b, c).
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC(a, b, c).
Giao của hai tập họp là một tập họp gồm các phần tử chung của hai tập hợp đó.
Ta kí hiệu giao của hai tập họp A và B là AnB.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Tìm các ước chung của hai số 45 và 30.
Phân tích. Vì các ước chung của 45 và 30 là các ước của cả hai số đó nên để tìm ước chung của chúng ta phải tìm các tập họp Ư(45) và ư(30) rồi tìm những phần tử chung của hai tập hợp đó.
Giải. Ta có 45 = 9.5 = 32. 5. Do đó ư(45) = {1; 3; 9; 5; 15; 45}.
Ta có 30 = 2.3 . 5. Do đó ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.
Tập hợp các ước chung của 45 và 30 là ƯC(45, 30) = ư(45) n ư(30) = {1;3;5;15}.
Ví dụ 2. Tìm ước chung của ba số 84, 90 và 264.
Giải. Ta có 84 = 22 . 3 . 7, do đó ư(84) = {1; 2; 3; 4; 7; 6; 12; 14; 21; 28; 42; 84};
90 = 2.32. 5, do đó ư(90) = {1; 2; 3; 5; 6; 9;10; 15; 18; 30; 45; 90}; 264 = 23. 3 . 11, do đó ư(264) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 11; 12; 22; 24; 33; 44; 66; 88; 132; 264}.
VậyưC(84, 90, 264) = {1; 2; 3; 6}.
Ví dụ 3. Có hai thùng rượu chứa hai loại rượu khác nhau, một thùng có 180 lít, thùng kia có 80 lít. cần chia đều vào những can nhỏ. Hỏi mỗi can cần có dung tích bao nhiêu lít để khi chia rượu vào các can thì mỗi can đều đầy và hai thùng đều hết rượu; biết rằng dung tích của mồi can đều lớn hơn 1 lít và nhỏ hơn 20 lít?
Phân tích. Giả sử dung tích của môi can là a lít và khi chia 180 lít rượu ta cần b can. Thế thì 180 = a . b. Điều này có nghĩa là a là một ước của 180. Tương tự, a là ước của 80.
Giải. Vì khi chia rượu vào can thì mỗi can đều đầy và hai thùng rượu đều hết nên dung tích của mồi can là một ước chung của 180 và 80.
Ta có: 180 = 22.32. 5, do đó
Ư(180) = {1; 2; 4; 3; 9; 5; 6; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180}; 80 = 2.5, do đó ư(80) = {1; 2; 4; 8; 16; 5; 10; 20; 40; 80}. SuyraưC(180, 80) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.
Vậy dung tích mồi can là: 2 lít hoặc 4 lít hoặc 5 lít hoặc 10 lít.
Ví dụ 4. Tìm bội chung bé hơn 200 của 42 và 28.
Phân tích. Vì bội chung của hai số là bội của cả hai số đó nên để tìm bội chung của 42 và 28 ta phải tìm tập hợp bội chung của mồi số rồi tìm tập hợp các phần tử chung của hai tập hợp; nghĩa là tìm giao của hai tập hợp ấy. Nhưng theo đầu bài chỉ cần tìm các bội chung bé hơn 200 nên cũng chỉ cần tìm các tập họp bội bé hơn 200 của hai số 42 và 28.
Giải. Gọi A và B lần lượt là các tập hợp các bội bé hơn 200 của 42 và của 28. Thế thì A = {42; 84; 126; 168}, B = {28; 56; 84; 112; 140; 168}. Vậy tập họp các bội chung bé hơn 200 của 42 và 28 là AnB = {84, 168}.
Ví dụ 5. Tìm các bội chung X của hai số 108 và 120 thoả mãn điều kiện:
800 <x< 1500.
Phân tích. Muốn tìm bội chung X thoả mãn điều kiện 800 < X < 1500, ta phải tìm các tập họp B(108), B(120) rồi chọn bội chung thoả mãn điều kiện đã cho. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy 7.108 = 756 < 800 < 8 . 108 = 864.
Vì thế ta có thể tìm các bội của 108 bắt đầu từ 864. Tương tự, 6 . 120 = 720 < 800 < 7 . 120 = 840, do đó có thể tìm các bội của 120 bắt đầu từ 840.
Giải. Tìm các tập họp các bội của 108 và 120. Ta có:
B(108) = {108; ...;864; 972; 1080; 1188; 1296; 1404; 1512; 1520, ...}. B(120) = {120; ...; 840; 960; 1080; 1200; 1320; 1440; 1560}.
Vậy 108 và 120 chỉ có một bội chung X = 1080 thoả mãn điều kiện 800 <x< 1500.
0 Lưu ý. Giả sử X là một bội của một số a sao cho X > b. Chia b cho a được thương q và dư r. Khi đó b = aq + r, với r < a. Điều này có nghĩa là aq < b = aq + r < aq + a - a(q + 1).
Do đó bội đầu tiên thoả mãn điều kiện X > b là X = a(q + 1).
Vậy muốn tìm bội đầu tiên lớn hơn b của một số a, ta làm như sau:
Chia b cho a được thương q;
Nhân a với q + 1. Tích tìm được là bội cần tìm.
Chẳng hạn, để tìm bội đầu tiên của 108 lớn hơn 800, ta chia 800 cho 108 được thương là q = 7; 108(7 + 1) = 108.8 = 864 là bội cần tìm.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 134. Giải'.
a) 4 Ể Ưc (12, 18);	b) 6 e ưc (12, 18); c) 2 e ưc (4, 6, 8)
4 Ể ưc (4, 6, 8);	e) 80 Ể BC (20, 30); g) 60 e BC (20, 30);
h) 12 Ể BC (4, 6, 8); i) 24 e BC (4, 6, 8).
Bài 135. Giái:
ư(6) = {1; 2; 3; 6}, ư(9) = {1; 3; 9}, ưc (6, 9) = {1; 3}.
ư(7) = {1; 7}, ư(8) = {1; 2; 4; 8}, ưc (7, 8)={1}.
ưc (4, 6, 8) = {1;2}.
Bài 136. Giái: A = {6; 12; 18; 24; 30; 36}, B = {9; 18; 27; 36}.
M = AnB = {18; 36}.	b)McA, McR.
Bài 137. Giái: a) AnB - {cam};
AnB là tập hợp các học sinh giỏi cả hai môn Văn và Toán;
Giải. AnB là tập hợp các số chia hết cho cả 5 và 10. Vì các sô chia hết cho 10 thì cũng chia hết cho 5 nên B là tập họp các số chia hết cho cả 5 và 10. Do đó B = AnB.
AnB = 0 vì không có số nào vừa chẵn vừa lẻ.
Bài 138. Giải'. Muốn cho mồi phần thưởng đều có số bút như nhau, số vở như nhau thì số phần thưởng phải là ước chung của 24 và 32. Vì 6 không phải là ước chung của 24 và 32 nên không thể chia thành 6 phần thưởng như nhau được.
Cách chia
Số
phần thưởng
Số bút ở mỗi phần thưởng
Số vở ở mỗi phần thưởng
a
4
6
8
b
6
c
8
3
4
D. Bài tập luyện thêm
Tìm tập hợp các ước chung sau đây:
Ưc (52, 51);	b) ưc (52, 48);
c) ưc (60, 150,315).
Tìm bội chung khác 0 bé hon 100 của:
a) 25 và 15;	b) 27 và 18;	c) 26, 21 và 19
Một ô cửa hình chữ nhật chiều dài 360cm, chiều rộng 140cm. Người ta định cài những song ngang, dọc sao cho chúng tạo thành nhũng ô vuông bằng nhau. Hỏi kích thước cạnh của mồi ô vuông ấy là bao nhiêu, biết rằng kích thước ấy lớn hơn 5cm và bé hơn 30cm (không tính đến độ dày của các song)?
Cô Hoà là chủ một quầy bán vải. Hôm qua cô bán hai loại vài, một loại giá 75 nghìn đồng một mét, loại kia giá 60 nghìn đồng nhưng quên không tiền vào sổ. Cô chỉ nhớ rằng số tiền bán hai loại vải bằng nhau và nhiều hơn 1 triệu đồng và ít hơn 1,5 triệu đồng. Hỏi số tiền bán mỗi loại vải là bao nhiêu?
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS: a) ƯC (52, 51) = {1}; b) ưc (52, 48) = {1; 2; 4}; c) ưc (60, 150, 315)= {1; 3; 5; 15}.
ĐS: a) 75; b) 54;
Không có bội chung nào bé hơn 100 của 26, 21 và 19.
HD\ Vì các song ngang dọc tạo thành những ô vuông bằng nhau nên cạnh của hình vuông phải là ước của cạnh hình chữ nhật.
Giải. Nhận thấy rằng độ dài cạnh của hình vuông phải là ước của độ dài cạnh hỉnh chữ nhật. Ta có Ư(360) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30;...}.
ư(140) = {1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35;...}. ưc (360, 140) = {1; 2; 4; 10; 20;...}.
Vậy cạnh của mỗi hình vuông cần tìm có thể là 10 hoặc 20.
HD: Giả sử cô Hoà đã bán a mét vải loại 75 nghìn đồng được X nghìn đồng thì X = 75 . a (nghìn đồng). Điều này có nghĩa là X là bội của 75. Vì số tiền bán loại vải 60 nghìn đồng cũng bằng X nên X cũng là bội của 60.
Giải. Giả sử số tiền bán mỗi loại vải là X nghìn đồng. Thế thì X là bội chung của 75 và 60. Nhưng theo đầu bài số tiền bán mồi loại vải lớn hon 1 triệu đồng và không vượt quá 1,5 triệu đồng (và 1 triệu bàng 1000 nghìn) nên 1000 < X < 1500. Do đó ta phải tìm những bội chung của 75 và 60 thoả mãn điều kiện nói trên.
Ta có: B(75) = {75; 150; ...; 975; 1050; 1125; 1200; 1275; 1350; 1425; 1500, ...}.
B(60) = {60; 120; ...; 960; 1020; 1080; 1140; 1200; 1260; 1320; 1380; 1440; 1500}.
Chỉ có một bội chung của 60 và 75 là X = 1200 thoả mãn điều kiện 1000 <1200 <1500.
Vậy số tiền bán mỗi loại vải là 1200 nghìn đồng hay 1 200 000 đồng.