Giải toán 6 Bài 13. Bội và ước của một số nguyên

§13. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SÓ NGUYÊN
Tóm tắt kiến thức
Bội và ước của một số nguyên
Cho a, b là những số nguyên, b # 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu là a : b.
Ta còn nói a là một bội của b và b là một ước của a.
0 Lưu ý
Neu a = bq thì ta còn nói a chia cho b được thưcmg là q và viết q = a: b.
Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.
Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
Số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
Nếu c là ước của cả a và b thì c được gọi là một ước chung cua a và b.
Tính chất
Neu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c. a : b và b : c => a : c.
Neu a chia hết cho b thì mọi bội của a cũng chia hết cho b. a : b => am : b.
Neu a và b đều chia hết cho c thì tổng, hiệu của a và b cũng chia hết cho c.
I a : c vả b : c => (a + b) : c và (a — b) : c.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Những số nào sau đây chia hết chia hết cho - 7:
18; 14;-20;-35; 40; 72?
Giải. 14 ỉ (-7) vì 14 = (-7). (-2);
-35 ỉ (-7) vì-35 = (-7). 5;
Các số còn lại không chia hết cho (-7).
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng:
Nếu a là một bội của b thì - a cũng là một bội của b.
Nếu b là một ước của a thì -b cũng là một ước của a.
Giải, a) Nếu a là một bội của b thì có một số nguyên q sao cho a = b.q.
Từ đó suy ra - a = - b.q = b. (-q). Điều này chứng tỏ —a là một bội của b.
b) Nếu b là một ước của a thì có một số nguyên q sao cho a = bq.
Mặt khác (-b).(- q) = bq. Do đó a = (-b). (-q).
Điều này chứng tò -b là một ước của a.
Ví dụ 3. Tìm các bội của 19 mà giá trị tuyệt đối của chúng bé hon 100.
Phân tích: Theo định nghĩa, nếu a là bội của 19 thì a = 19.q. Vì thế muốn tìm một bội của 19 ta chỉ cần nhân 19 với một số nguyên. Hơn nữa, theo ví dụ 2, ta chỉ cần tìm các bội không âm, rồi lấy thêm các số đối cùa chúng.
Giải. Các bội dương của 19 là:
0; 19. 1 = 19; 19. 2 = 38; 19. 3 = 57; 19. 4 = 76; 19. 5 = 95; 19. 6 = 114; .
Vì 114 > 100 nên các bội của 19 mà giá trị tuyệt đổi của chúng bé hơn 100 là -95, - 76; - 57; - 38; - 19; 0; 19; 38; 57; 76; 95.
Ví dụ 4. Tìm các ước của - 42.
Phân tích: Nếu b là một ước của -42 thì có một số q sao cho -42 = bq. Hơn nữa, theo ví dụ 2 ta chỉ cần tìm các ước dương của 42 rồi lấy thêm các số đối của chúng.
Giải. Các ước dương của 42 là:
1;2;3;6;7; 14; 21; 42.
Vậy tập hợp các ước của 42 là: '
{-42;-21,-14; - 7; - 6; - 3; - 2; - 1; 1;2;3;6; 7; 14; 21; 42}.
Ví dụ 5. Chứng tỏ ràng nếu a + b và a đều chia hết cho c thì b cũng chia hết cho c.
Phân tích: Muốn chứng tỏ b chia hết cho c ta cần tìm được một số q sao cho b = cq.
Giải. Vì a + b chia hết cho c nên có một số nguyên k sao cho a + b = ck.
Theo đầu bài a cũng chia hết cho c nên có một số nguyên h sao cho a = ch. Nhưng b = a + b- a = ck-ch = c(k-h). Đặt q = k-h, ta có b = cq. Vậy b chia hết cho c.
Ví dụ 6. Tìm X sao cho I X I < 20 và tổng (35 - 80 + x) : 5.
Giải. Vì (35 - 80 + x) : 5; 35 : 5 và 80 í 5 nên X phải chia hết cho 5. Do đó ta phải tìm các bội của 5 mà giá trị tuyệt đối của chúng bé hơn 20. Các bội dương của 5, bé hơn 20 là: 5; 10; 15.
Vậy các giá trị cần tìm của X là: -15; - 10; - 5; 0; 5; 10; 15.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 101. ĐS: Có thể chọn năm bội của 3, -3 là: -ố; - 3; 0; 3; 6.
Bài 102. Giải: Các ước của - 3 là: - 3; - 1; 1; 3.
Các ước của 6 là: - 6; - 3; - 2; - 1; 1; 2; 3; 6.
Các ước của 11 là: - 11; - 1; 1; 11.
Các ước của - 1 là: - 1; 1.
Bài 103. HD: a) Mỗi phần tử a e A cộng với một phần tử b e B ta được một tổng a + b.
Mỗi số chẵn thuộc A cộng với một số chẵn thuộc B ta được một tổng chia hết cho 2 và mỗi số lẻ thuộc A cộng với một số lẻ thuộc B cũng được một số chia hết cho 2.
ĐS: a) Có 5 . 3 = 15 tổng a + b.
b) Có 3 . 1 + 2.2 = 7 tổng chia hết cho 2.
Bài 104. ĐS: a) X = -5; b) I X I - 6. Do đó X = 6 hoặc X = -6.
Bài 105. Giải'.
a
42
-25
2
-26
0
9
b
-3
-5
-2
1-131 ■
7
-1
a : b
-14
5
-1
-2
0
-9
Bài 106. ĐS: Có. Đó là 1 và-1.
D. Bài tập luyện thêm
Hãy tìm ba bội âm và ba bội không âm của: -8; 6.
Kí hiệu tập hợp các ước của số nguyên a bởi Ư(a). Hãy tìm các tập hợp:
ư(-15);	b)ư(37).
Kí hiệu tập họp các ước chung của hai số nguyên a và b là ưc (a; b). Hãy tìm các tập hợp:
ưc (-30; 24);	b) ưc (18;-35).
Xét xem những tống nào sau đây chia hết cho 9:
3753 - 4257;	b) (-522) + (- 720);
748 + 325;	d) 3021 - (-6033).
Tìm X trong mỗi trường họp sau:
3x- 2(5 - x) = 2x- 16; b) 7(3 - x) = 5x - 3.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
Có thể chọn những bội của - 8 là: -24; -16; -8; 0; 8; 16.
Có thể chọn những bội của 6 là: -18; - 12; -6; 0; 6; 12.
ư(-15) = {-15; - 5; - 3; - 1; 1; 3; 5; 15}; ư(37) = {-37;-1; 1; 37}.
a) HD: Tìm tập các ước dương chung của 30 và 24 rồi lấy thêm các số đối của chúng.
ĐS: ƯC(-30;24)= {-6;-3;-2;-1; 1;2;3;6}.
ĐS: ưc (18;-35)= {-1; 1}.
ĐS: Các tổng a), b) chia hết cho 9 vì mồi số hạng đều chia hết cho 9.
Tổng c) không chia hết cho 9 vì 748 chia hết cho 9 nhung 325 không chia hết cho 9.
Tổng d) chia hết cho 9 vì 3021 - (-6033) = 3021 + 6033 = 9054 chia hểt cho 9.
ĐS: a) X = -2; b) X = 2.