Giải toán 6 Bài 10. Trung điểm của đoạn thẳng

§10. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẰNG
A. Tóm tắt kiến thức
Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (MA = MB).
AB
2
A	M	B
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: MA = MB =
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho đoạn thẳng AB = 6cm. c là điểm nằm giữa A và B. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, CB. Tính độ dài MN.
Giải. M là trung điểm của đoạn thẳng AC nên MC =	. AC.
N là trung điểm của đoạn thẳng CB nên CN =	. CB mà c nằm giữa
M và N nên MN = MC + CN = ị . AC + ị . CB 2 2
=> MN = I . (AC + CB) = I . 6 = 3cm .
3 Lưu ý. Bài toán không thể và không cần thiết tính cụ thể số đo đoạn thẳng AC, CB mà chỉ có thể biểu thị được MC = ~ . AC và
CN = y . CB . Sau đó tính MN. Dựa vào lời giải trên, ta có mối liên
hệ sau: MN = — . AB với mọi điểm c thuộc đoạn AB. Như vậy nếu 2
cho độ dài AB thì tính được MN và ngược lại.
c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa
Bài 60. Giải', a) Điểm A nằm giữa o và B vì A và B đều nằm trên tia Ox và OA < OB (2 < 4).
o	A	B x
Điểm A nằm giữa o và B nên: OA + AB = OB;
AB = OB - OA = 4 - 2 = 2 (cm). Vậy OA = AB.
Điểm A là trung điểm của OB vì A nằm giữa o và B và OA = AB.
0 Lưu ý. Phương pháp chứng minh A là trung điểm của OB là chứng minh hai điều kiện: A nằm giữa o và B; AO = AB.
Bài 61.
Bài 62.
Bài 63.
Giải'. Hai tia OA, OB đối nhau nên o nằm giữa A và B.
Lại có OA - OB = 2cm nên o là trung điểm của AB.
Giải'. Trên tia Ox vẽ điểm c cho: oc = 3 : 2 = 1,5 (cm).
Bạn đọc tự vẽ các điểm D, E, F.
Giải'. Câu c), câu d) đúng.
Bài 64. Giải:
o	Đ	o	o	o
A	D	c	E	B
Vì c là trung điểm của AB nên c nằm giữa A, B và CA = CB = 6 : 2 = 3cm. Trên tia AB có: AD < AC (2 < 3) nên điểm D nằm giữa A và c, do đó CD = AC - AD = 3-2 = 1 (cm). Lập luận tương tự ta được điểm E nằm giữa B và c và CE = lcm. Ta thấy điểm c nằm giữa D và E.
Mặt khác có CD = CE (= lcm) nên c là trung điểm của DE.
0 Lưu ý. Trong bài tập tính toán có trung điểm, ta có: khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng đến mỗi đầu đoạn thẳng bằng nửa độ dài của đoạn thẳng ấy.
Bài 65. Giải: a) BD; c nằm giữa B, D và CB = CD (= 2,5 cm) b) AB; c) A không nằm giữa B và c.
D. Bài tập luyện thêm
Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Gọi M là trung điểm của AB. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm c và D sao cho AC = BD = 3cm.
Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Điểm M có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không? Vì sao?
Cho đoạn thẳng AB = 6cm, M là trung điểm của đoạn thẳng AB. N là điểm nằm giữa A và M sao cho AN = lcm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA = 3cm, OB = 6cm
Điểm A có nằm giữa hai điểm o và B không?
So sánh OA và AB.
Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM = 6cm, ON = 10cm. Gọi I, K là trung điểm của ON và MN. Tính độ dài đoạn thẳng IK.
Hướng dẫn - Lời giải - Đáp số
a) Điểm D nằm giữa A, B ta có: AD + BD = AB => AD + 3 = 8 => AD = 5cm.
- c và D cùng thuộc tia AB mà AC 3 + CD = 5 => CD = 2cm.
.	c M D	B
b) M là trung điểm của AB nên AM =
AB
2
Trên tia AB có AC AC + CM = AM => 3 + CM = 4 => CM = 1cm.
Trên tia AB có AM AM + MD = AD => 4 + MD = 5 => MD = 1 cm.
Ta có M nằm giữa c, D vì MC + MD = CD (1 + 1=2) đồng thời CM = MD (= 1cm) nên M là trung điểm của đoạn thẳng CD.
- M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AM =	. AB = 3cm .
- N nằm giữa A và M nên AN + MN = AM => 1 + MN = 3 => MN = 2cm.
Điểm A nằm giữa o và B ta có OA + AB = OB => 3 + AB = 6 => AB = 3cm. Nên AB = OA (= 3cm).
A nằm giữa o và B và AB = AO nên A là trung điểm của OB.
- M, N thuộc tia Ox, mà OM OM + MN = ON => 6 + MN = 10 => MN = 4cm.
, , , 	 1
-1 là trung điêm của đoạn thăng ON nên NI= Ỷ . ON = 5cm.
, , ,	1
K là trung điêm của đoạn thăng MN nên NK	= Ỷ	.	MN = 2cm.
Ta có K nằm giữa I và N nên IK + KN = NI =>	IK +	2	= 5 =>	IK = 3cm.
°	I	M	-K	N	X
H Lưu ý. Em có thể chứng tỏ được bài toán tổng quát sau: Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM = a, ON = b (a < b). Gọi I, K là trung điểm của ON và MN thì IK =	.