Giải toán 6 Bài 7. Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

§7. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ Tự NHIÊN NHÂN HAI LUỸ THỪA CÙNG cơ SỐ
A. Tóm tắt kiến thức
Luỹ thừa bậc n của một số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi
thừa số bàng a:	an = ạ ■ ã .... ạ (n * 0)
n thừa số
a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Quy ước a1 = a. a2 còn được gọi là bình phương của a. a3 còn được gọi là lập phương của a.
Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên luỹ thừa.
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ -nguyên cơ số và cộng các số mũ: am. an = am + n.
Một số là bình phương của một số tự nhiên được gọi là số chính phương. Chẳng hạn: 4 là một số chính phương vì 4 = 2 .
1225 cũng là một số chính phương vì 1225 = 352.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Câu nào sau đây là sai?
232 là luỹ thừa với cơ số là 23;
(2.3)2 là luỹ thừa với cơ số là 3;
(2 . 3)2 là luỹ thừa với cơ số là 6;
2 . 32 là tích của 2 với bình phương của 3.
Giải. Câu (B) sai vì (2 . 3)2 là luỹ thừa của số được xác định bởi các phép tính trong dấu ngoặc; tức là luỳ thừa của 6.
0 Lưu ý. Cần phân biệt (ab)n và abn.
Theo định nghĩa luỹ thừa bậc n thì (ab)" = ab . ab	ab = anbn,
n thừa số ab
ab11 = a. b ■ b	b .
n thừa sô' b
Ví dụ 2. Tính giá trị của các luỹ thừa sau:
2 Lưu ý. Với n > 0, ta có 1 on = 1 0...0 .
;
10n chữ số 0
.
11J= 11 .11.11 = 1331; 25 = 2.2.2.2.2 = 32; 100. 10. 10. 10. 10
81
Giải. 81
1T
81 . 81
6561;
3.3 .3.3=81;
10ò = 10. 10 . 10 . 10 . 10 . 10
1000 . 10 . 10 . 10 = 10 000 . 10 . 10 = 100 000 . 10
1 000 000.
211 = 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 2048.
Vậyll2<2".
0 Lưu ý. Khi phải tính giá trị của một luỹ thừa với số mũ lớn ta có
thể viết chúng thành tích của những luỳ thừa với số mũ nhỏ hơn. Điều này rất có lợi khi ta có thể tính nhẩm được luỹ thừa với những số mũ nhỏ hơn đó. Chẳng hạn:
211 =25.26 = 32.64 = 2048.
Ví dụ 5. Bình phương của một số tận cùng bởi chữ số 5. Muốn tìm bình phương một số có chữ số tận cùng là 5 ta chỉ việc lấy số chục của nó cộng thêm 1 rồi nhân với số chục đó và viết tiếp 25 vào bên phải kêt quả vừa được.
Chẳng hạn, để tính 3 52 ta lấy 4 . 3 = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải 12, ta được:
352 = 1225.
Ta có thể giải thích quy tắc này như sau:
Giả sử một số tận cùng bởi chữ số 5 có số chục là a. Thế thì số đó là 10a + 5 và (10a + 5)2 = (10a + 5)(1 Oa + 5) = 10a . 10a + 50a + 50a + 25 = a . 100a+ 100a + 25
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta được a . 100a + 100a + 25 = (a + l)a . 100 + 25.
Vì a(a + 1)100 là một số có ít nhất hai chữ số 0 cuối cùng bên phải nên tổng
ta + l)a . 100 + 25 là một số mà hai chữ số cuối cùng bên phải là 25 và số đứng trước 25 là (a + l)a.
Áp dụng quy tắc trên hãy tính: 752; 9952.
Giải. (7+1)7 = 8.7 = 56. Vậy 752 = 5625;
(99 + 1)99 = 100.99 = 9900. Vậy 9952 = 990025.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 56. ỠS.-a)56;	b)64 hay 24.34; c) 23*. 32; d) 105.
Bài 57. Gz'ảz':a)23=8;	24= 16;	25 = 32;	26 = 64;
27 = 128;	28 = 256;	29 = 512;	210= 1024.
32 = 9;
42 = 16;
33 = 27;
43 = 64;
34 = 81;
44 = 256.
35 = 243
d) 5 2 = 25;
53 = 125;
54 = 625.
e) 62 = 36;
63 = 216;
64= 1296.
Bài 58. a) Học sinh tự lập.
HD: Có thể nhẩm hoặc dùng bảng vừa thiết lập trong câu a). ĐS: 64 = 82;	169 = 132;	196 = 142.
Bài 59. Giải-. a)
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a3
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
b) Theo bảng trên ta có : 27 - 33; 125 = 53; 216 = 63.
Bài 60. Giải-. Theo quy tắc nhân hai luỹ thừa cùng cơ số: am. an = am + n ta có:
33.34 = 37; b) 52.57 = 59;	c) 75.7=76.
Bài 61. ĐS: 8 = 23; 16 = 42 hay 24; 27 = 33; 64 = 82 hay 26;
81 =92 hay 34; 100 = 102.
Bài 62. Giải-, a) Ta biết 10n = 1 CLX) .
n chữ số 0
Ta có 102 = 100;
103 = 1000;
104= 100 00;
105= 100000;
106 =1000000.
ĐS: 1000 = 103; 1 000 000 = 106; 1 000...00 = 1012.
12 chữ số 0
Bài 63. Giải'.
Câu
Đúng
Sai
a) 23.22 =26
X
b) 23.22 = 25
X
c) 54.5 = 54
X
m +" và quy ước a’ = a.
b) 102. 1O3. 105 = 102 + 3 + 5 d)a3. a2. a5=a3 + 2 + 5 = a10.
Bài 64.
HD: Áp dụng quy tắc: am. an = a
23.22.24= 23+2+4 = 29;
X . X5 = x' + 5 = x6;
Bài 65. Giải:
23 < 32 vì 23 = 8, 32 = 9; b) 24 = 42 vì 24 = 16, 42 = 16;
25 > 52 vì 25 = 32, 52 = 25; d) 210 > 100 vì 210= 1024.
Bài 66. Giải'. Qua hai kết quả tính 112 và 1112 ta thấy các kết quả này được viết bời một số có một số lẻ các chữ số. Các chữ số đứng hai bên chữ số chính giữa đối xứng với nhau và các chữ sổ bắt đầu từ chữ sô đâu tiên bên trái đến chữ số chính giữa là những số tự nhiên liên tiếp đầu tiên. Vì thế có thể dự đoán
11112 = 1234321.
Thật vậy, 1 1112 = (1000 + lll)(1000 + 111)= 10002 + 111 000 + 111 000 + 1112 = 1 000 000 + 222 000 + 12321 = 1234321.
Lưu ý. Tương tự ta có thể kết luận:
lllll2 = 123454321; 1111112 = 12345654321;...
111 111 1112 = 12345678987654321.
Tuy nhiên với 11111111112 (có 10 chữ số 1) thì quy luật này không còn đúng nữa. Thật vậy,
11111111112 = 10000000002 + 222222222 0 0000 0000 + 1111111112 = 1000000000000000000 + 222222222000000000 + 12345678987654321
= 1234567900987654321.
D. Bài tập luyện thêm
Tính: ll3. 122; 83.73; 23.32. 52.
So sánh: a) 83 và 38;	b) 45 và 54.
Viết các tích sau dưới dạng một luỹ thừa:
32.35.27;	b) 54.53.25;	c) 32;
144;	e) 169.
Tính nhẩm:	a) 952;	b) 1952; c) 1 1052.
Chứng tỏ rằng những số sau đây là những số chính phương:
289;	b) 3025.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
II3. 122= 1331 . 144 = 191 664.
83.73 = 175 616; 23 32.52 = 1800.
a) 83 54.
a) 32. 35.27 = 32. 35.33 = 310; b) 54. 53.25 = 54. 53. 52 = 59;
32 = 2. 16 = 2.2.8 = 2,2.2.4 = 2.2.2.2.2 = 25;
144 = 2.72 = 2.2. 36 = 2.2.2.18 = 2.2.2.2.9 = 2.2.2.2.3.3=4.4.3.3 = 12. 12 = 122;
169 = 13 . 13 = 132.
a) 9025; b) 38025; c) 1221025.
a) HD: Nếu 289 = a2 thì nó phải chia hết cho số a. Hãy kiểm tra xem 289 chia hết cho số nào. Vì 289 là số lẻ nên không chia hết cho số chẵn, không chia hết cho 3, nó cũng không chia hết cho sổ tận cùng bởi chữ số 5.
ĐS: 289= 172;
HD-. Nhận xét 30 = 6 . 5, rồi áp dụng quy tắc bình phương của số có chữ số tận cùng là 5 trong ví dụ 5.
ĐS: 3025 = 552.