Giải toán 6 Bài 17. Ước chung lớn nhất

§17. ƯỚC CHUNG LỚN NHẮT A. Tóm tắt kiến thức
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Kí hiệu ước chung lớn nhất của các số a, b, c là ƯCLN(a, b, c).
Cách tìm ƯCLN
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau: Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
0 Lưu ý. a) Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
Hai hay nhiều số có ƯCLN bang ỉ được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.
Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
Cách tìm ước chung
Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta có ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
Như vậy, tập họp các ước chung của các số đã cho là tập hợp các ước của ƯCLN của các số đó.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Tìm ƯCLN của các số 120, 252, 132.
Giải. Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố ta được:
120 = 23.3. 5;252 = 22.32.7; 132 = 22.3 . 11.
Các thừa số nguyên tố chung là: 2, 3.
ƯCLN(120, 252, 132) = 22.3 = 12.
Ví dụ 2. Tìm ƯCLN(84,140,143).
Giải. Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố ta được:
84 = 22.3 . 7; 140 - 22.5 . 7; 143 = 11 . 13.
Các số đã cho không có thừa số nguyên tố nào chung.
Vậy ƯCLN(84, 140, 143) - 1 và 84, 140, 143 là ba số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 3. Tìm tập hợp các ước chung của các số 196, 280, 700.
Giải. Trước hết ta tìm ƯCLN(196, 280, 700).
Phân tích các số đã cho ra thừa số nguyên tố ta được:
196 = 22.72; 280 = 23.5 .7; 700 = 22.52.7.
Các thừa số nguyên tố chung là: 2, 7.
ƯCLN(196, 280, 700) = 22.7 = 28.
Tập hợp ưc (196, 280, 700) = ư(28) = {1;2;4, 7; 14; 28}.
Ví dụ 4. Chia 54 quả cam và 24 quả táo cho một số người sao cho mỗi người nhận được cùng một số cam, cùng một số táo. Hỏi có thể chia đều cho nhiều nhất bao nhiêu người?
Phân tích. Để có thể chia đều 54 quả cam thì số người nhận phải là một ước của 54. Tưong tự, số người cũng là một ước cùa 24. Do đó số người là một ước chung của 54 và 24. số người nhiều nhất phải là ƯCLN của 54 và 24.
Giải. Số người là một ước của 54 và cũng là một ước của 24. Vì số người là nhiều nhất có thể được nên số người là ƯCLN của 54 và 24.
Ta có 54 - 2.33; 24 = 23.3. Vậy ƯCLN(54, 24) = 2.3 = 6.
Vậy có thể chia đều 54 quả cam và 24 quả táo cho nhiều nhất là 6 người.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 139. Giải'.
Ta có 56 = 23.7; 140 = 22.5.7. Do đó ƯCLN(56, 140) = 22.7 = 28;
Tacó 24 = 23.3; 84 = 22.3 . 7; 180 = 22.32. 5.
Vậy ƯCLN(24, 84, 180) = 22.3 = 12.
Vì 180 ỉ 60 nên ƯCLN(60, 180) = 60;
ƯCLN(15, 19)= 1.
Bài 140. Giải: a) Vì 80 : 16 và 176 : 16 nên ƯCLN(16, 80, 176) = 16;
b) Ta có 18 = 2 . 32; 30 = 2 . 3 . 5; 77 = 7 . 11. Do đó 18, 30, 77 không có ước-chung nào khác 1. Vậy ƯCLN(18, 30, 77) = 1.
Bài 141. Giải. Có hai số nguyên tố cùng nhau mà cả hai đều là hợp số. Ví dụ 4 và 9.
Thật vậy 4 = 22; 9 = 32, chúng là những hợp số mà không có ước nguyên tố nào chung. Vì thế ƯCLN(4, 9) = 1; nghĩa là 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 142. Giải:
ƯCLN(16, 24) = 8, ưc (16, 24) = {1; 2; 4; 8};
Ta có 180 = 2. 32 . 5; 234 = 2. 32 . 13;
ƯCLN(180, 234) = 2.32 = 18, ƯC(180, 234) = {1; 2; 3; 6; 9; 18};
Ta có 60 = 22.3 . 5; 90 = 2.32 . 5; 135 = 33. 5. Do đó ƯCLN(60, 90, 135) = 3 . 5 = 15; ưc (60, 90, 135) = {1; 3; 5; 15}.
Bài 143. Giải-. Theo đầu bài a là ƯCLN(420, 700).
Ta có 420 = 22.3 . 5.7; 700 = 22.52.7. Do đó a = 22.5.7 = 140.
Bài 144. HD: Tìm ƯCLN (144, 192) rồi chọn các ước lớn hơn 20 của ƯCLN (144, 192).
ĐS: 24, 48.
Bài 145. Giải: Đe cắt hết tấm bìa thành những hình vuông bàng nhau thì độ dài cạnh hình vuông phải là một ước chung của chiều rộng và chiều dài của tấm bia. Do đó muốn cho cạnh hình vuông là lớn nhất thì độ dài của cạnh phải là ƯCLN(75, 105).
Vì 75 = 3 . 52; 105 = 3 . 5 . 7 nên ƯCLN (75, 105) = 15.
ĐS: 15cm.
Bài 146. Giải: Theo đầu bài, X là một ước chung cùa 112 và 140. Vì 112 = 24.7;
140 = 22.5 . 7 nên ƯCLN(112, 140) = 22.7 = 28. Mỗi ước chung của 112 và 140 cũng là ước của 28 và ngược lại. Trong số các ước của 28 chỉ có 14 thoả mãn điều kiện 10 < 14 < 20.
ĐS: x = 14.
Bài 147. Giải, a) số bút trong mỗi hộp là a và giả sừ Mai đã mua X hộp được 28 bút. Do đó 28 = a . x; nghĩa là a là một ước của 28. Tương tự, Lan đã mua 36 bút nên a cũng là một ước của 36. Hơn nữa a > 2.
Theo câu a) thì a là một ước chung của 28 và 36.
Ta có: 28 = 2. 7, 36 = 2. 32.
ƯCLN(28, 36) = 22 = 4. Do đó ưc (28, 36) = {1 ; 2 ; 4}.
Vì a là một ước chung và lớn hơn 2 nên a = 4.
Số hộp bút Mai đã mua là X và 4 . X = 28 nên X = 28 : 4 = 7.
Gọi số hộp bút Lan đã mua là y, ta có 4 . y = 36. Do đó y = 36 : 4 = 9. Vậy Mai đã mua 7 hộp, Lan đã mua 9 hộp.
Bài 148. Giải: Muốn cho số nam và số nữ được chia đều vào các tổ và số tổ là nhiều nhất thì số tổ cần tìm là ƯCLN (48, 72).
Vì 48 = 24.3 ; 72 = 23.32 nên ƯCLN (48, 72) = 23.3 = 24.
Vậy số tổ là 24. Mỗi tổ có 2 nam và 3 nữ.
D. Bài tập luyện thêm
Tìm ƯCLN(220, 280, 300) rồi tìm tập hợp ưc (220, 280, 300).
Tìm số tự nhiên X sao cho khi chia 75 cho X thì dư 3, chia 106 cho X thì dư 4, chia 125 cho X thì dư 5.
Lóp 6A có 46 học sinh, lóp 6B có 44 học sinh. Trong buổi chào cờ các lớp đều xếp hàng dọc. số hàng dọc của các lóp đều bằng nhau. Khi xếp hàng, lớp 6A lẻ 1 người, lớp 6B lẻ 2 người. Hỏi mồi lớp xếp thành mấy hàng dọc?
Trường Trung học cơ sở Nguyễn Viết Xuân nằm trên một thửa đất hình chữ nhật chiều rộng 90m, chiều dài 100m. cần trồng cây xung quanh trường, khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi khoảng cách lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Trên một bức tường hình vuông người ta ốp những viên gạch men hình chữ nhật có kích thước là 20cm và 30cm. Tính độ dài mỗi cạnh của bức tường biết rằng bức tường được ốp kín và không cần cắt một viên gạch nào, hơn nữa độ dài mỗi cạnh của bức tường không bé hơn 3m và nhỏ hơn 5m.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS: ƯCLN (220, 280, 300) = 20; ƯC(220,280, 300) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.
Giải. Giả sử khi chia 75 cho X ta được thương là a và dư là 3, chia 106 cho X ta được thương b và dư 4, chia 125 cho X được thương c và dư 5. Thế thì 75 = ax + 3, với 3 5.
Điều này có nghĩa là X là một ước chung của các số 72, 102 và 120 và x>5.
Do đó cần tìm tập hợp các ước chung của 72, 102, 120.
Phân tích ba số này ra thừa số nguyên tố:
72 = 23.32; 102 = 2.3 . 17; 120 = 23.3 . 5.
ƯCLN(72, 102, 120) = 2.3 =6. ưc (72, 102, 120)= {1; 2; 3; 6}.
Vậy X = 6.
HD: Lập luận tương tự như bài 2.
ĐS: 3 hàng dọc.
HD: Vì khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau nên khoảng cách này phải là ước chung của 90 và 100. Khoảng cách lớn nhất là ƯCLN(90, 100).
ĐS: 10m.
HD: Tường được lấp kín và không cần cắt viên gạch nào có nghĩa là kích thước của bức tường hình vuông là bội chung của các kích thước của viên gạch.
ĐS: 3,6m hoặc 4,2m hoặc 4,8m.