Giải toán 6 Bài 15. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

§15. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A. Tóm tắt kiến thức
Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
H Lưu ý. Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.
Muốn phân tích một số tự nhiên a lớn hơn 1 ra thừa sổ nguyên tố ta có the làm như sau:
Kiểm tra xem 2 có phải là ước của a hay không. Nếu không ta xét số nguyên tố 3 và cứ như thế đối với các số nguyên tố lớn dần.
Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a, ta chia a cho p được thương b.
Tiếp tục thực hiện quy trình trên đối với b.
Quá trình trên kéo dài cho đển khi ta được thương là một số nguyên tố.
0 Lưu ý. Dù phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố bàng cách nào thì cũng được cùng một kết quả.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Phân tích số 2420 ra thừa số nguyên tố.
Giải. Nhận thấy 2 là ước nguyên tố của 2420.
Chia 2420 cho 2 được thương là 1210 và 2420 = 2 . 1210.
(1)
(2)
Nhận thây 2 lại là ước nguyên tô của 1210.
Chia 1210 cho 2 được thương là 605 và 1210 = 2 . 605.
Số nguyên tố 3 không phải là ước của 605 vì 6 + 0 + 5 = 11 không chia hết cho 3.
Nhận thấy 5 là ước nguyên tố nhỏ nhất của 605.
Chia 605 cho 5 được thương là 121 và 605 = 5.121.	(3)
Nhận thấy 2, 3, 5 đều không phải là ước của 121. Nếu chia 121 cho 7 ta được thương là 17 và dư là 2. Do đó 7 không phải là ước của 121. Xét số nguyên tố 11, ta thấy: 121 = 11.11.	(4)
Từ các đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta suy ra:
2420 = 2.1210 = 2.2.605=2.2.5. 121 =2.2.5. 11 . 11=22.5.112. Ta có thể trình bày quá trình phân tích trên đây bởi một bảng gồm một gạch thẳng đứng với các ước nguyên tố được viết lần lượt bên phải, còn số đã cho và các thương được viết lần lượt bên trái gạch thẳng đứng như sau:
1
Bảng này nói rằng 2420 bằng tích các thừa số ở cột bên phải: 2420 = 22.5 . 11.
0 Lưu ý. Cũng có thể trình bày như sau:
Bảng này nói rằng 2420 = 2.2.5 . 11 . 11 = 22.5 . 112.
Ví dụ 2. Cho số a = 22.3 .5. Tìm các ước của a.
Nhận xét. Trước het a = 2 . 2 . 3 . 5. Hiển nhiên mỗi thừa số mỗi tích của những thừa số bất kì trong cách phân tích này cũng là ước của a.
Giải. Các ước của a là: 1, 2, 3, 5, 2.2 = 4, 2 . 3 = 6, 2.5 = 10, 3 . 5 = 15;
2.2.3 = 12, 2.2.5 = 20, 2.3 . 5 = 30, 2 . 2 . 3 . 5 = 60 = a.
Như vậy Ư(a) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 12,20,30, 60}.
0 Lưu ý. Người ta chứng minh được rằng nếu số a = bm. cn... dr với b, c,..., d là những số nguyên tố thì số ước của a bằng (m + l)(n + 1)... (r + 1). Nhờ điều này có thể biết đã tìm hết các ước của một số a hay chưa. Chẳng hạn, số các ước của a = 22.3 . 5 bằng (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3.2.2 = 12.
Ví dụ 3. Tìm hai số tự nhiên X và y sao cho (2x + 5)y = 45.
Phân tích. 2x + 5 và y là ước của 45. Chỉ cần tìm y ta sẽ suy ra X hoặc ngược lại. Tuy nhiên nhận thấy ràng 2x + 5 > 5. Do đó ta nên tìm 2x + 5. Để tìm các ước của 45, ta phân tích 45 ra thừa số nguyên tố.
Giải. Ta có 45 = 5.9 = 5. 3. 3.
Vì 2x + 5 > 5 nên có thể: 2x+5 = 5,2x + 5 = 3.3 = 9,2x + 5 = 5.3 = 15, 2x +5 = 5 . 3 . 3 =45.
Nếu 2x + 5 = 5 thì y = 9. Suy ra	2x = 5 - 5 = 0. Vậy X = 0,	y = 9.
Nếu 2x + 5 - 9 thì y = 5. Suy ra	2x = 9 - 5 = 4. Vậy X = 2,	y = 5.
Nếu 2x + 5 = 15 thì y = 3. Suy ra 2x = 15 - 5 =	10. Vậy X = 5, y =	3.
Nếu 2x + 5 = 45 thì y = 1. Suy	ra 2x = 45 - 5	= 40. Vậy	X = 20.	Khi
đó y = 1.
ĐS: X = 0, y = 9; X = 2, y = 5; X = 5, y = 3; X = 20, y = 1.
Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên khác 1, nhỏ nhất, chia hết cho 4, 30, 81.
Phân tích. Vì 4 = 22, 30 = 2.3 . 5, 81 = 34 nên số phải tìm phải là tích của các luỹ thừa cùa các số nguyên tố: 2, 3, 5.
Giải. Ta có 4 = 22, 30 = 2 . 3 . 5, 81 = 34. Giả sử số cần tìm là X. Vì X chia hết cho các số 22, 34, 2 . 3 . 5 nên trong cách phân tích X ra thừa số nguyên tố phải có 22, 34 và 5.
Rõ ràng 22.34.5 chia hết cho 22, 34 và 2.3 . 5. Hon nữa đó là số nhỏ nhất thoả mãn điêu kiện đã cho vì mọi sô chia hêt cho 4, cho 30, cho 81 đêu phải chứa các ước là 22, 34 và 5. Vậy số cần tìm là X = 22.34.5 = 1620.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 125. ĐS: a) 60 = 22.3 . 5; b) 64 = 26; c) 285 = 3 . 5 . 19;
1035 = 32. 5.23; e) 400 = 24.52; g) 1 000 000 = 26. 56.
Bài 126. Giải: An làm không đúng vì chưa phân tích hết ra các thừa số nguyên tố. Chẳng hạn, 4, 51, 9 không phải là các số nguyên tố.
Kết quả đúng phải là: 120 = 23.3 . 5; 306 = 2.32. 17; 567 = 34.7.
Bài 127. Giải: a) 225 = 32.52 chia hết cho 3 và 5;
1800 = 23.32.52 chia hết cho 2,3,5;
1050 = 2.3 . 52.7 chia hết cho 2, 3, 5, 7;
3060 = 22.32. 5 . 17 chia hết cho 2,3,5, 17.
Bài 128. Giải: 4 là một ước của a vì 4 là một ước của 23;
8 = 23 là một ước của a;
16 không phải là ườc của a;
11 là một ước của a;
20 cũng là ước của a vì 20 = 4.5 là ước 23.52.
Bài 129. Giải: a) 5 . 13 có các ước là 1, 5, 13, 65.
Lim ý. Muốn tìm các ước của a . b ta tìm các ước của a, của b và tích của mỗi ước của a với một ước của b.
Các ước của 25 là 1, 2, 22, 23, 24, 25 hay 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Các ước của 32.7 là 1, 3, 32, 7, 3 . 7, 32.7 hay 1, 3, 9, 7, 21, 63.
Bài 130. Giải: 51 = 3 . 17, Ư(51) = {1; 3; 17; 51};
75 = 3 . 52, ư(75) = {1; 3; 5; 25; 15; 75};
42 = 2.3 . 7,ư(42)= {1; 2; 3; 7; 6; 14; 21; 42};
30 = 2 . 3 . 5,ư(30)= {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.
Bài 131. Giải: a) Giả sử 42 = a . b = b . a. Điều này có nghĩa là a và b là những ước cùa 42. Vì b = 42 : a nên chỉ cần tìm a. Nhưng a có thể là một ước bất kì của 42.
Nêu a = 1 thì b = 42.
Nếu a = 2 thì b = 21.
Nếu a = 3 thì b = 14.
Nếu a = 6 thì b = 7.
b) ĐS: a = 1, b = 30; a = 2, b = 15;a = 3,b = 10;a=5, b = 6.
Bài 132. Giải. Vì số bi ở các túi bằng nhau nên số túi phải là ước của 28. Ta có 28 = 22. 7. Suy ra tập họp các ước của 28 là {1; 2; 4; 7; 14; 28}. Vậy số túi có thể là: 1,2, 4, 7, 14, 28.
Bài 133. Giải: a) 111 =3 . 37. Tập hợp Ư(111) = {1; 3; 37; 111}.
b) Từ câu a) suy ra phải điền các chữ số như sau 37.3 = 111.
D. Bài tập luyện thêm
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
360; 980; 231.
Phân tích mỗi số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của mỗi số đó:
280;	b) 195.
Tìm X biết rằng x5 có ước là 3.
Tìm số tự nhiên X khác 0, nhỏ nhất có những ước là 4, 70, 125.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS: 360 = 23.32 . 5;980 = 22.5 . 72; 231 = 3 . 7 . 11.
a) 280 = 23.5 . 7.
Ư(280) = {1; 2; 4; 8; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40; 56; 35; 70; 140; 280}.
195 = 3 . 5 . 13, ư(195) = {1; 3; 5; 13; 15; 39; 65; 195}.
HD: Lưu ý rằng x5 có chữ số tận cùng là 5.
Giải. Vì x5 chia hết cho 3 nên X + 5 phải là một số chia hết cho 3. Do đó X có thê là 1 hoặc 4 hoặc 7; nghĩa là x5 =15 hoặc x5 = 45 hoặc X5 =75.
Ta có 4 = 22; 70 = 2 . 5.7; 125 = 53; X = 22 . 53.7 = 3500.