Giải toán 6 Bài 12. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

§12. DÁU HIỆU CHIA HÉT CHO 3, CHO 9
Tóm tắt kiến thức
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chì những số đó mới chia hết cho 3.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. a) Một số chia hết cho 9 có chia hết cho 3 hay không?
b) Một số chia hết cho 3 có chia hết cho 9 hay không?
Giải, a) Giả sử a là một số tự nhiên chia hết cho 9. Thế thì a = 9k, với k là một số tự nhiên nào đó. Vì 9 = 3 . 3 nên a = (3 . 3)k = 3 . (3k). Đặt 3k = m, ta có a = 3m.
Điều này có nghĩa là a chia hết cho 3.
b) Một số chia hết cho 3 chưa chắc chia hết cho 9. Chẳng hạn, 3 chia hết cho 3 nhưng 3 không chia hết cho 9.
Ví dụ 2. Trong các số sau số nào chia hết cho 3, số nào chia hết cho 9:
4356;5136;2745; 3918?
Giải. Số 4356 chia hết cho 3 và cũng chia hết cho 9 vì 4 + 3 + 5 + 6=18 mà 18 : 3 và 18 : 9.
Số 5136 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9vì5+l+3 + 6 = 15 mà 15 :3 nhưng 15/? 9.
Số 2745 chia hết cho 3 và chia hết cho 9 vì 2 + 7 + 4 + 5 = 18.
Số 3918 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 vì 3 + 9+1 + 8 = 21.
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của a và b thoả mãn các điều kiện: a < b, a + b < 10 và số 5ab5 chia hết cho 9.
Giải. Muốn cho 5ab5 chia hết cho 9thì5 + a + b + 5 phải chia hết cho 9. Nhưng 5 + a + b + 5 = 9+ 1 + a + b. Do đó 1 + a + b phải chia hết cho 9 hay 1 + a + b = 9q, với q là một số tự nhiên.
Vi a + b < 10 nên a + b + 1 < 11. Vì thế q = 1, Suy ra 1 + a + b = 9 hay a + b = 8. Vậy a, b có thể nhận các giá trị sau: a = 0, b = 8; a = 1, b = 7; a = 2, b = 6; a = 3, b = 5.
Ví dụ 4. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n, tổng 10n + 11 luôn luôn chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Nhận xét. Với n = 0 thì 10" = 10°= 1.
Với n = 1 thì 10" = 10* - 10.
Với n > 1 thì 10" = ìpOO—Q.
n chữ số 0
Từ nhận xét này ta có thể biết được tất cả các chữ số của tổng 10"+ 11.
Giải. Với n = 0, ta có 10" + 11 = 10° + 11 = 1 + 11 = 12. số 12 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Với n = 1, 10" + 11 = 101 + 11 = 10 + 11 = 21. Số 21 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Vớin> 1, 10"+ 11 = 1000-0 + 11 = lpOO-Ọll.
n chữ số 0	n-2 chữ số 0
Số này có tổng các chữ số là 1 + 1 + 1 = 3.
Do đó 10" + 11 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Vậy tổng 10" + 11 luôn luôn chia hết cho 3 nhung không chia hết cho 9.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 101. HD: Vận dụng các dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3.
ĐS: Những số chia hết cho 3 là: 1347; 6534; 93 258.
Những số chia hết cho 9 là: 93 258 và 6534.
Bài 102. Giải: a) Vì 3564 có tổng các chữ số là 3 + 5 + 6 + 4 = 18, chia hết cho 3;
4352 có 4 + 3 + 5 + 2=14 không chia hết cho 3, không chia hết cho 9; 6531 có 6 + 5 + 3 + 1 = 15 chia hết cho 3;
6570 có 6 + 5 + 7 + 0 = 18 chia hết cho 9;
1248 có 1+2 + 4 + 8 = 15, chia hết cho 3.
Vậy A = {3564; 6531; 6570; 1248}.
B = {3564; 6570}.
B c A.
Bài 103. HD: Có thể tính tổng (hiệu) rồi xét xem kết quả tìm được có chia hết cho 3, cho 9 không. Cũng có thể xét xem từng số hạng của tổng (hiệu)
có chia hết cho 3, cho 9 không. Chẳng hạn: 1251 chia hết cho 3 và cho 9, 5316 chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó tổng 1251 + 5316 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
ĐS: a) 1251 + 5316 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
5436 - 1324 không chia hết cho 3, không chia hết cho 9.
C) Giải. Vì 1.2.3.4.5.6 = 1. 2.3.4.5.3.2 = 9.1.2.4.5.2 chia hết cho 9 và 27 cũng chia hết cho 9 nên 1 .2.3.4.5.6 +27 chia hết cho 9. Do đó cũng chia hết cho 3.
Bài 104. a) HD: Hãy điền chữ số vào dấu * để tổng 5 + * + 8 hay tổng 13 + * chia hết cho 3.
ĐS: 528; 558; 588.
Phải điền một chữ số vào dấu * sao cho tổng 6 + * + 3 chia hết cho 9. Đó là chữ số 0 hoặc chữ số 9. Ta được các số : 603; 693.
Đe số đã cho chia hết cho 5 thì phải điền vào dấu * chữ số 0 hoặc chữ số 5. Nếu điền chữ số 0 thì ta được số 430, không chia hết cho 3. Nếu điền chữ số 5 thì ta được số 435. số này chia hết cho 3 vì 4 + 3 + 5 chia hết cho 3. Vậy phải điền chữ số 5.
Trước hết, để *81 * chia hết cho 10 thì chữ số tận cùng là 0; tức là *81 * = *810. Để *810 chia hết cho 9thì* + 8 + l+ 0 = * + 9 phải chia hết cho 9. Vì * < 10 nên phải thay * bời 9.
Vậy *81* =9810.
Bài 105. Giải-, a) số chia hết cho 9 phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Do đó các số cần tìm là : 450, 540, 405, 504.
b) Số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 phải có tổng các chữ số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó các số cần tìm là :
543, 534,453,435, 345,354.
Bài 106. a) Giải. Muốn viết số nhỏ nhất có năm chữ số thì chữ số đầu tiên phải là chữ số nhỏ nhất có thể được, chữ số đó phải là 1. Chữ số thứ hai là chữ số nhỏ nhất có thể được, đó là chữ số 0. Tương tự, chữ số thứ ba, thứ tư cũng là 0. Vì số phải tìm chia hết cho 3 nên tổng các chữ số phải chia hết cho 3. Do đó chữ số cuối cùng phải là chữ số 2.
Vậy số phải tìm là 10002.
• b) ĐS: 10008.
Bài 107. Giái:
Câu
Đúng
Sai
a) Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3.
X
b) Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9.
X
c) Một số chia hết cho 15 thì số đó chia hết cho 3.
X
d) Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9.
X
Bài 108. HD: Chỉ cần tìm dư trong phép chia tổng các chữ số cho 9, cho 3.
Giai: Vì 1+5 + 4 + 6=16 chia cho 9 dư 7 và chia cho 3 dư 1 nên 1546 chia cho 9 dư 7, chia cho 3 dư 1;
Vì 1 + 5 + 2 +7 = 15 chia cho 9 dư 6, chia hết cho 3 nên 1526 chia cho 9 dư 6 chia cho 3 dư 0;
Tương tự, 2468 chia cho 9 dư 2, chia cho 3 dư 2; ìo" chia cho 9 dư 1, chia cho 3 dư 1.
Bài 109. Giãi:
a
16
213
827
468
m
7
6
8
0
Bài 110. Giải:
a
78
64
72
b
47
59
21
c
3666
3776
1512
m
6
1
0
n
2
5
3
r
3
5
0
r d
3
5
0
D. Bài tập luyện thêm
Xét xem mỗi tổng hoặc hiệu sau có chia hết cho 3, cho 9 hay không:
a) 3516 + 4212;	b) 2713 + 986; c) 5431 -3105.
Chứng tỏ ràng với mọi chữ số a khác 0:
Số tự nhiên aaa chia hết cho 3;
Số tự nhiên aaaaaaaaa chia hết cho 9.
Tìm X thoả mãn mỗi điều kiện sau:
a) 5x3x chia hết cho 3;	b) 4x3x chia hết cho 9.
Mỗi số sau có chia có chia hết cho 3, cho 9 hay không?
a) 222...22 - 222...22.	b) 777...77 + 222...22 .
17 chữ số 2	14 chữ sô' 2	17 chữ số 7	8 chữ số 2
Không thực hiện phép chia, áp dụng bài tập 108, SGK, hãy tìm dư trong phép chia mỗi số sau cho 9:
4735;	b) 6972.
Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
ĐS: a) 3516 + 4212 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
2713 + 986 chia hết cho 9.
5431 - 3105 không chia hết cho 3; do đó cũng không chia hết cho 9.
Giải, a) Số aaa chia hết cho 3 vì a + a + a = 3a mà 3a là một số chia hết cho 3.
b) Số aaaaaaaaa chia hết cho 9vìa + a + a + a + a + a + a + a + a = 9a.
HD: a) Cách 1. Có thế thừ với X bằng một trong 10 chữ số.
Cách 2. Nhận xét rằng 5+x + 3 + x = 8 + 2xlà một số chẵn và chia hết cho 3.
’ ĐS: X = 2 hoặc X = 5 hoặc X = 8. b) ĐS: x= 1.
Giai, a) 222...22 - 222...22 = 222 ỌOO...OQ .
17 chữ số 2	14 chữ số 2	14 chữ sô' 0
Vì 2 + 2 + 2 = 6 nên 222.■ .22 - 222...22 chia hết cho 3.
17 chữ sô' 2	14 chữ sô' 2
b) 777...77 + Z22...22 = 77......7 99......9.
17 chữ số 7	8 chữ số 2	9 chữ sớ 7 8 chữ số 9
Vì 7 + 7 + ■■■+ 7 + 9+ 9+ ... + 9 = 9.7 + 9.8 chia hết cho 9 nên
9 chữ số 7	X chữ số 9
777...77 + 222...22 chia hết cho 9.
17 chữ sô' 7	8 chữ sô' 2
ĐS: a) 1; b) 6.