Giải toán 8 Bài 1. Đa giác. Đa giác đều

  • Bài 1. Đa giác. Đa giác đều trang 1
  • Bài 1. Đa giác. Đa giác đều trang 2
  • Bài 1. Đa giác. Đa giác đều trang 3
  • Bài 1. Đa giác. Đa giác đều trang 4
§1. Đa giác. Đa giác đểu
Tóm tắt kiến thức
Các định nghĩa
Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mật phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Hình 2.1 là một lục giác đều.
Tính chất
Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng (n - 2). 180°.
aaã;	(n-2).180°
Môi góc cúa đa giác đẽu băng 	.
n
Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho ngũ giác đều ABCDE.
Tính số đo mỗi góc của nó.
Vẽ các đường chéo AC, AD. Hãy kể tên các đa giác có trong hình.
Chứng minh các tứ giác ABCD, ACDE là những hình thang cân.
Giải	a) Số đo mỗi góc của ngũ giác đều được tính theo công thức
(n-2).180° t	c
, trong đó n = 5.
n
Vậy A = B = C = D = E=(5 ■2^-18.—= 108°.
Các đa giác có trong hình là:
Ba tam giác: ABC, ACD, ADE.
Hai tứ giác: ABCD, ACDE.
Một ngũ giác: ABCDE.
Tóm lại có tất cả 6 đa giác.
Tam giác ADE là tam giác cân, E = 108°
_ ^o0 _!08° o 	 57T;_ionO Q<0 _-7qO
nên Ai ——-— 	= 36 , suy ra BAD = 180 —36 =72 .
2
Ta có BAD + B = 72° +108° = 180° .
Suy ra AD//BC, tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có B = c nên là hình thang cân. Chứng minh tương tự ta được ACDE là hình thang cân.
Cảnh báo: Nếu bạn cho rằng tam giác không phải là đa giác thì bạn đã lầm. Theo định nghĩa thì tam giác , tứ giác cũng là đa giác (có ba cạnh, bốn cạnh).
c. Hưởng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 1. Hướng dân: Bạn đọc tự giải theo định nghĩa.
_	’	_	TV.	.9.	V	.	.	X •	^7	Q	X	X	1	1	'
Bài 2. Lời giải, a) Hình thoi ABCD với A 90 có các cạnh bãng nhau nhưng các góc không bằng nhau nên không phải là đa giác đều. b) Hình chữ nhật ABCD với AB > BC có các góc bằng nhau nhưng các cạnh không bằng nhau nên không phải là đa giác đều.
Bài 3. Lời giải. Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Suy ra BE = BF - DG = DH (một nửa của các, cạnh bằng nhau).
Tam giác AEH cân có A = 60° nên là tam giác đều, suy ra EH = AE F BE. Tương tự FG - FC = FB. Do đó BE = BF = FG = GD = DH = HE (1)
Ta có E2 = 60° , suy ra Ej = 120°
Tương tự íĩị =	= GÍ = ỄJ = 120°, B = D = 180° - Ấ = 120°
VậyỄ; = B = FÌ = G^ = D = Hj (2)
Từ (1) và (2) suy ra đa giác EBFGDH là lục giác đều.
Bài 4. Đáp số
Ếở
Đa giác n cạnh
Số cạnh
4
5
6
n
Số đường chéo xuất phát từ một đỉnh
1
, 2
3
n - 3
Số tam giác được tạo thành
. 2
3
4
n - 2
Tổng số đo các góc của đa giác
360°
540°
4.180°
= 720°
(n-2).180°
Bài 5. Lời giải
Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là: ——= Ị 08°.
Sô đo môi góc cúa lục giác đểu là: 	y	= 120 .
6
oa'^~ã;	IX. (n-2).180°
SỐ đo môi góc cúa n-giác đẽu là: 	.
n
D. Bài tập luyện thêm
Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác lồi n cạnh luôn luôn bằng 360°.
Cho lục giác đều ABCDEF. Các tia AB và DC cắt nhau tại M, các tia AF và DE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình thoi.
Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EF, FA. Chứng minh rằng đa giác MNPQRS là lục giác .đều.
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
1. Tổng của một góc trong và một góc ngoài tại mỗi đỉnh bằng 180°, tại n đỉnh bằng 180°.n.
Tổng các góc trong của đa giác bằng (n - 2). 180°.
Do đó tổng các góc ngoài của đa giác bằng:
180°.n. - (n -*2). 180° = 180° n - 180° n + 360° = 360°.
Áp dụng: Nếu đa giác đều có số đo mỗi góc ngoài bằng 36° thì số cạnh của nó là: n = 360°:36° = lồ (cạnh)
Hình 2.4
2. Số đo mỗi góc của lục giác đều là
(6-2),w=w 6
Do đó = q =120°.
Suy ra B2 = c2 = 60°.
Tam giác MBC là tam giác đều, suy ra
MB = MC = BC.
Ta đặt BC - a thì AM = 2a. Chứng minh tương tự ta được MD = DN = NA = 2a.
Tứ giác AMDN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
AASM = ABMN (c.g.c),
suy ra MS = MN.
Chứng minh tương tự ta được:
MN = NP = PQ = QR = RS = SM (1)
Ta có AMS = BMN = 18°- ~12Q = 30° .
2
Suy ra SMN = 180° — (30°+30°) = 120° .
Chứng minh tương tự ta được: N = P = Q = R = S = M = 120° (2) Từ (1) và (2) suy ra đa giác MNPQRS là lục giác đều.