Giải toán 8 Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (tiếp)

§7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức (tiếp)
Tóm tắt kiến thức
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức.
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2+2AB + B2
(A-B)2 = A2-2AB + B2
A2-B2 =(A-B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 =(A + B)(A2-AB + B2)
A3-B3 =(A-B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(3x + 2)3 - (3x - 2)3;	b) (a + b)3 - 25(a + b).
Giải, a) (3x + 2)3-(3x-2)3
= (3x + 2 - 3x + 2) [(3x + 2)2 + (3x + 2)(3x - 2) + (3x - 2)2 ]
= 4(9x2 + 12x + 4 + 9x2 -4 + 9x2 -12x + 4) = 4(27x2 + 4).
(a + b)3 -25(a + b)
='(a + b)[(a + b)2-25] = (a + b)(a + b-5)(a + b + 5).
Ví dụ 2. Tìm X, biết:
X2-9 + x2(-x2 + 9) = 0;	b) X3-12x2 +48x-9 = 0.
Giải, a) X2 - 9 + x2(-x2 + 9) = 0 (x2 -9)-x2(x2 -9) = 0
x = ±3 x = ±l.
O	„	Fx2-9 = 0 Tx = ±3
 (x2-9)(1-X2) = 0 	«
1-X2 = O Lx = ±1-
x3-6x2+12x-9 = 0 (x3-6x2+12x-8)-l = 0 «(x-2)3-l = 0»(x-2-l)[(x-2)2+(x-2) + l] = 0
3
4
= 0 X - 3.
Lưu ý: Không phải cứ dùng hằng đẳng thức thì phép biến đổi là gọn. Như ở ví dụ trên ta biến đổi mà không dùng hằng đẳng thức hiệu các lập phương: X3 -6x2 +12x - 9 = 0 (x3 -6x2 +12x-8)-l = 0 (x-2)3-l = 0(x-2)3=lx-2 = lx = 3.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 43. Đáp số. a) X2 + 6x + 9 = (x + 3)2;
lOx - 25 - X2 = -(5 - x)2 hoặc -(x - 5)2;
8x’4=(2x-ip+x+i);
±x-64/ = (ix-8y)(ix + 8y).
Bài 44. Đáp số. a) x3+-^- = x3+|^-| =|x + Ậ)íx2--ị-x + -ị-|;
27	V 3 A 3	9)
(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2+b2).
(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2+ 3b2);
8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 ;
- X3 + 9x2 - 27x + 27= (3- x)3.
b) X = 2- 2
Bài 46. Lời giải, a) 732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600;
372-132 = (37-13)(37 +13) = 24.50 = 1200;
20022 - 22 = (2002 - 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000 .
D. Bài tập luyện thêm
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(a2-2a)2-l;	b) a2(b-l) + b2(l-b).
Chứng minh rằng:
(x - y)2 - X3 + y3 = (x - y)(x - y - X2 - xy - y2)
Tìm X, biết:
(x2-4x + 4) + (x2-4) = 0; b) (x-l)3+3(x-l)2+3x-2 = 0 .
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
a) (a2-2a)2-1 = (a2-2a-l)(a2-2a + l) = (a2-2a-l)(a-l)2;
a2(b-l) + b2(l-b) = a2(b-l)-b2(b-l)
= (b - l)(a2 -b2) = (b - l)(a -b)(a + b).
VT= (x-y)2-(x3-y3) = (x-y)2-(x-y)(x2 + xy + y2)
= (x - y)(x - y- X2 -xy- y2) = VP.
a) (x2-4x + 4) + (x2-4) = 0
2x(x-2) = 0
 (x - 2)2 + (x - 2)(x + 2) = 0 (x -2)(x -2 + x + 2) = 0 x = 0 X = 2.
(x -1)3 + 3(x -1)2 + 3x - 2 = 0 o (x -1)3 + 3(x -1)2 + 3(x -1) +1 = 0
 [(x -1) +1]3 = 0 (x -1) +1 = 0 X = 0