Giải toán 8 Bài 3. Rút gọn phân thức

§3. Rút gọn phân thức
Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Kết quả rút gọn của phân thức
X -7X + 10
4-x
(A)
(B)
Giải. Ví dụ 2.
x + 2 .
Chọn (D).
Rút gọn các phân thức:
(C)
là:
x-5
x-2
(D)
-X + 5
X + 2
a)
X2 +y2 -2xy-l x2-y2-2x + l
b)
X2 + y2 - z2 + 2xy - 2z -1 X2 — y2 4- z2 — 2xz + 2y -1
x2+y2-2xy-l _ (x2+ y2-2xy)-l _ (x-y)2-l Va I a I. ã) — 	— 	 - ——	 —— - 	=4	
x2-y2-2x + l
(x2-2x + l)-y2	(x-l)2-y2
(x-y-l)(x-y + l) _ X-y +1 (x-l-y)(x-l + y) _ x + y-1 ’
b)
X2 4- y2 - z2 4- 2xy-2z-1 _ (x2 4- y2 4- 2xy) - (z2 4- 2z 4-1) X2 — y2 4- z2 — 2xz + 2y -1	(x2 + z2 - 2xz) - (y2 - 2y +1)
(x + y)2 - (z +1)2 _ (x + y - z - l)(x + y + z + l)_x + y + z + l (x-z)2-(y-l)2	"
Ví dụ 3.
(x-z-y + l)(x-z + y-l) x-y-z + l Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào X, y
a) A =
X2 -4y2
(2y + x)(3x-6y)
b) B =
X2 -(x 4-a)2
2x + a
Giải
....	x2-4y2	(x + 2ỵ)(x-2y)	1.
(2y + x)(3x-6y)	3(x + 2y)(x-2y)	3’
Vậy A không phụ thuộc vào biến X, y.
b) B =
X2 -(x + a)2 _ (x + x + a)(x-x-a)
2x + a	2x + a
Vậy B không phụ thuộc vào biến X, y.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 7. Lời giải, a)
6x2y2 _ 2xy2.3x _ 3x
b)
8xy5 2xy2.4y3
5xy(x + y).2y
4y
c)
10xy (x + y) _
15xy(x + y)3 5xy(x + y).3(x + y)2	3(x + yỹ
2x2 +2x _ 2x(x + l)
2y
= 2x
2	z 2	\ z	\
d)
X -xy-x + y_(x -xy)-(x-y) x2+xy-x-y (x2 + xy) — (x + y)
x(x-y)-(x-y) = (x-y)(x-l) = x-y x(x + y)-(x + y) (x + y)(x-l) x + y
Bài 8. Lời giải, a)	= 4 do đó kết quả câu a là đúng;
9y 3y.3	3
3xy + 3	3(y + l) y + 1
_	=	•	=	■ ■ -■■■■ do đó kết qua câu b là sai;
9y + 3	3(3y + l) 3y + l
Mil =	=H±1 do đó kít quả cau c là sai;
9y + 9	3(3y + 3) 3y + 3
3xy + 3x 3x(y + l) 3x(y + l) X ,
••	.. = ■,	.. = . do đó kết quả câu d là đúng.
9y + 9	9(y + l)	9(y + l)	3
Bài 9. Lời giải, a)
36(x-2)3 _ 36(x-2)3	9(x-2):
32-lóx _-16(x-2)-	-4
X
5y'
b) x2~xy x(x-y) 5y2-5xy	-5y(x-y)
*n r x. . X7 +x6+x5+x4+x3 +x2+X + 1 Bai 10. Lời giải. 	-3—	
X -1
(x7 + X6) + (x5 + X4) + (X3 + X2) + (x + 1)
(x-l)(x + l)
X6 (x + 1) + X4 (x + 1) + X2 (x + 1) + (x + 1)
(x-l)(x+l)
12x3y2	6xy2.2x2
18xy5 ” 6xy2.3y3
_ (x + l)(x6 + X4 + X2 + 1) _ X6 + X4 + X2 + 1 (x-l)(x + l) ” x^l '
Bài 11. Lời giải, a)
15x(x + 5)3 5x(x + 5).(x + 5)2 (x + 5)2 20x2(x + 5)= 5x(x + 5).4x	4x
rjb.-	3x2 - 12x + 12 3(x2 - 4x + 4)
Bài 12. Lời giải, a)	= —— -
x4-8x	x(x3-8)
3(x-2)2	3(x-2)
_ x(x - 2)(x2 + 2x + 4) _ x(x2 + 2x + 4)
7x2 + 14x + 7 _ 7(x2+2x + 1) = 7(x + l)2 = 7(x + l)
3x2+3x	- 3x(x + l) _3x(x + l)_ 3x
r V-	45x(3-x)	-15x(x-3).3	-3
Bài 13. Lời giải, a) ——	Y = —	Ý" = -—Y7Y;
15x(x-3)3	15x(x-3)3	(x-3)2
b)	y2-x2	= y2-x2 = (y-x)(y + x) = x + y
X3-3x2y + 3xy2-y3	(x-y)3	(x-y)3	(x-y)2
D. Bài tập luyện thêm
.	,	_z_	. 225x3 -xy2	9x4-6x3y
Rút gọn các phân thức : a)	Y; b) ————y-
15x3-x2y	(2y-3x)2
X , „ X. x a2 +b2 +c2 + 2(ab-bc-ca)
Rút gọn các phân thức: a)	T	T————	;
a2-c2 + 2ab + b2
a2(b-c)' + b2(c-a) + c2(a-b)
2abc - ab(a + b) - ac(c - a) + bc(b - c)
X 2 + 5x + 5
Rút gọn phân thức: A = 	—	————	7—- •
(x + l)(x + 2)(x + 3)(x + 4) +1
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
a) 225x3-xỵ2 _ x(225x2 -ỵ2) _ (15x + ỵ)(l5x-ỵ) _ 15x + ỵ
15x3-x2y - x2(15x-y) -	x(15x-y)	_ X
b) 9x4-6x3y _ 3x3(3x-2y) _ 3x3 J (2y-3x)2 - (3x-2y)2 ~3x-2y'
a2 + b2 + c2 + 2(ab - bc - ca) _ a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ca
a2-c2+2ab + b2 ~	(a2+2ab + b2)-c2
(a + b-c)2 _ (a + b-c)2 _a + b-c (a + b)2-c2 (a + b + c)(a + b-c) a + b + c’
b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử được:
Tử thức a2 (b - c) + b2 (c - a) + c2 (a - b) = (a - b)(b - c)(a - c)
Mẫu thức 2abc - ab(a + b) - ac(c - a) + bc(b - c)
= -(a + b)(b - c)(a - c)
Vây a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b)
2abc - ab(a + b) - ac(c - a) + bc(b - c)
(a-b)(b-c)(a-c) _ a-b_b-a -(a + b)(b-c)(a-c) a + b b + a
A-	x2+5x + 5
- (x + l)(x + 2)(x + 3)(x +*4) +1
	. x2+5x + 5	 X 2 + 5 X + 5
[(x + l)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] + l (x2 +5x + 4)(x2 + 5x + 6) + l
Đặt t = X2 + 5x + 5 ta có A = t = t = 1 A =	1
(t - l)(t +1) +1 t2-l + l t^ _x2 + 5x + 5