Giải toán 8 Bài 7. Hình bình hành

  • Bài 7. Hình bình hành trang 1
  • Bài 7. Hình bình hành trang 2
  • Bài 7. Hình bình hành trang 3
  • Bài 7. Hình bình hành trang 4
  • Bài 7. Hình bình hành trang 5
  • Bài 7. Hình bình hành trang 6
§7. Hình bình hành
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có cắc cạnh đối song song.
ABCD
AB // CD; BC // AD.
Tính chất
Hình 1.60
Trong hình bình hành:
Các cạnh đối bằng nhau;
Các góc đối bằng nhau;
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. -Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Chứng minh rằng:
Tứ giác AMCN là hình bình hành;
Ba đường thẳng AC, BD và MN đồng.quy.
Giải, a) ABCD là hình bình hành nên AB//CD do đó AM//CN (1)
(2)
Ta có AB = CD và BM = DN nên AM = CN
Hình 1.61
éo BD cắt đường chéo AC tại
lồng quy tại o.
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
b) Xét hình bình hành AMCN, z z	N
đường chéo MN căt đường chéo AC tại trung điểm o của AC.
Xét hình bình hành ABCD, đường cl trung điểm o của AC.
Do đó ba đường thẳng MN, BD và AC
Ví dụ 2.
Giải.
Nhận xét: Hai hình bình hành có một đường chéo chung thì các đường chéo của chúng đồng quy tại trung điểm của đường chéo chung. Bạn nên nhớ tính chất này để chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vẽ các hình bình hành DAME, CBMF. Chứng minh rằng:
Tứ giác DECF là hình bình hành;
'Ba điểm E, N, F thẳng hàng.
a) Tứ giác DAME là hình bình hành nên DE//AM và DE = AM	(1)
Tứ giác CBMF là hình bình hành nên CF // BM và CF = BM	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: DE // CF (vì cùng song song với AB).
DE = CF (vì cùng bàng hai đoạn thẳng	Hình 1.62
bằng nhau).
Tứ giác DECF có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
b) Trong hình bình hành DECF hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên đường chéo EF phải đi qua trung điểm N của đường chéo CD. Do đó ba điểm E, N, F thẳng hàng.
Nhận xét: Hai đầu đường chéo của một hình bình hành thẳng hàng với trung điểm của đường chéo kia.
c. Hướng dân giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 43. Hướng dẫn: Tứ giác ABCD và EFGH là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau.
Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (hoặc có các cạnh đối bằng nhau).
Bài 44. Lời giải
Hình 1.63
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.
Suy ra DE // BF và DE = BF Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành, suy ra BE = DF.
Cách khác: AABE = ACDF (c.g.c),
suy ra BE = DF.
Hình 1.64
Bài 45. Lờì' giải, a) Xét hình bình hành ABCD có B = D, suy ra B? = Ễ>2.
Vì AB//CD nên ê2 = Fi,
do đó Dỉ = F|.
Suy ra DE // BF.
b) Tứ giác DEBF có DE // BF; BE // DF nên DEBF là hình bình hành. Bài 46. Hướng dẫn Các câu a), b) đúng.
Các câu c), d) sai (chẳng hạn hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải là hình bình hành).
Bài 47. Lời giải
a) AADH và ACBK có: H = K (= 90°); AD = BC và ADH = CBK (so le trọng).
Do đó AADH = ACBK (cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra AH = CK.
Mặt khác AH // CK (cùng vuông góc với BD), nên tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Trong hình bình hành AHCK có o là trung điểm của đường chéo HK nên o cũng làỵtrung điểm của đường chéo AC. Do đó ba điểm A, o, c thẳng hàng.
Hình 1.65
Bài 48. Lời giải.
Vẽ đường chéo AC.
Xét AABC có EF là đường trung bình nên
EF//ACvà EF = |ạC (1).
2 '
Xét AADC có HG là đường trung bình nên HG//ACvà HG=|aC (2).
Từ (1) và (2) suy ra EF // HG và EF = GH;
Do đó tứ ẹiác EFGH là hình bình hành vì có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
Nhận xét: Bạn nên nhớ kết quả của bài toán này vì nó được vận dụng đổ giải nhiều bài toán khác.
Bài 49. Lời giải
Tứ giác AKCI có
Hình 1.66
AK // CI và AK = CI (một nửa của hai cạnh bằng nhau) nên AKCI là hình bình hành. Suy ra AI // CK.
Xét ADNC có IM // CN và ID = IC
nên DM - MN	(1)
Xét AABM có KN // AM và AK = KB
(2)
nên MN = NB
Từ (1) và (2) suy ra DM - MN = NB.
D. Bài tập luyện thêm
Tứ giác ABCD có A + B = c + D , B + c = D + A . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tính các góc của hình bình
Hình bình hành ABCD có A = Ậ B 3
hành đó.
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = ND.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Tia AM cắt BC tại E. Chứng minh rằng ME = ^-MA.
Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhỏ. Vẽ đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Chứng minh rằng:
Tứ giác MNHD là hình bình hành;
Tam giác NHC cân.
Cho hình bình hành ABCD. Từ D vẽ đường thẳng xy sao cho toàn bộ hình bình hành ABCD nằm trên một nửa mặt phẳng bờ xy. Qua A, B, c vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt xy lần lượt tại A'. B', C'. Chứng minh rằng AA' + CC' = BB'.
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
Vì A+B=c+D nên  + B = 180°, suy ra AD // BC.
B+C=D+A nên A + D = 180° suy ra AB // CD.
Do đó tứ giác ABCD là hình bình hành.	Hình y 57
A = c = 72°, B = 0 = 108°.
a) AABM = ACDN (c.g.c), suy ra AM = CN (1)
AADN = ACBM (c.g.c), suy ra AN = CM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AMCN là hình bình hành.
b) Xét ABNC có ME // CN và BM = MN nên EB = EC. Ta CÓ ME là đường trung bình của ABNCnên ME = |nC.
Hình 1.68
Do đó ME = 4 MA . 2
a) MN là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình thang nên MN // CD và
b) Ta có NH = MD (cạnh đối hình bình hành).
NC - MD (một nửa của hai đường chéo bằng nhau). Suy ra NH - NC, do đó ANHC là tam giác cân.
Qua giao điểm o của hai đường
chéo hình bình hành, vẽ 00' // AA'
(0' e xy).
Xét hình thang ACC'A' có 00' là đường trung bình nên
B' y
Hình 1.70
AA'+CC
00' =	7^— (1)
BB'
Xét tam giác DBB' có 00' là đường trung bình nên 00' = —— (2)
Từ (1) và (2) suy ra AA' + CC' = BB'.
Nhận xét: Ta đã suy nghĩ như thế nào khi vẽ đường phụ 00'? Ta thấy tứ giác ACC'A' là hình thang, tổng AA' + CC' là tổng của hai đáy nên ta nghĩ đến đường trung bình của hình thang, do đó vẽ OO' là đường trung bình của hình thang ACC'A'.