Giải toán 8 Bài 1. Tứ giác

§1. Tứ giác
Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Hình 1.1
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không nói gì thêm ta hiểu đó là tứ giác lồi(h.l.l).	B
Tính chất
Tổng các góc của tứ giác bằng 360°.
A + B + C + D = 360°.	°
Ví dụ giải toán
Ví dụ. Tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh c
bằng góc A và D = 90° .
Tính số đo của góc B.
Tia phân giác của góc A cắt CD tại E.
Đường thẳng qua c và song song với AE cắt AB tại F. Chứng minh rằng CF là tia phân giác của góc BCD.
Giải, a) Vì BCx = BAD nên BAD + BCD = 180°
Xét tứ giác ABCD có B = 360° - (A + c + D).
B = 360°-(180°+90°) = 90° .
b) Ta có CF // AE suy ra E) = C| (cặp góc đồng vị).
Xét AADE vuông tại D có: A) + Ej = 90°
Ta có Aj = A2 nên từ (3) suy ra q = c2 .
Vậy tia CF là tia phân giác của góc BCD.
Nhận xét: Trong tam giác, muốn tính số đo của một góc, ta lấy 180° trừ đi tổng số đo của hai góc còn lại. Trong tứ giác, muốn tính số đo của một góc ta lấy 360° trừ đi tổng số đo của ba góc còn lại.
c. Hưởng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 1. Đáp số: Ở hình 5, SGK: a) 50°; b) 90°; c) 115°; d) 75°
Ở hình 6 ,SGK: a) X = 100° ; b) X = 36°.
Bài 2. Lời giải, a) Xét tứ giác ABCD có D = 360° - (90° + 75° +120°) = 75° .
Ẩ; =105°; q =90°; q = 60°; E\ = 105°.
Ẩ; = 180°-Ầ; q =180°-B; q =180°-C; q =180°-D;
Do đó AI + B| + q + D|
= (180° - A) + (180° - B) + (180° - C) + (180° - D)
= 720°-(A + B + c +D) = 720°-360° =360°.
Tổng các góc ngoài của một tứ giác bằng 360°.
Bài 3. Lời giải, a) Điểm A cách đều hai đầu của đoạn thẳng BD, điểm c cách đều hai đầu của đoạn thẳng BD nên A và c nằm trên hai đường trung trực của BD do đó AC là đường trung trực của BD.
-—- 180°-Ấ
b) Tam giác ABD cân tại A nên ABD = ADB = ——	= 40° .
Tam giác CBD cân tại c nên CBD = CDB = 180—s = 60°.
Do đó ABC = ADC = 40° + 60° =100°.
Bài 4. Lời giải.
Đặt tên các đỉnh của tứ giác ở hình 9- SGK như hình 1.3.
Vẽ AABC theo trường hợp (c.c.c): AC = 3cm; AB = 1,5cm; BC = 2cm.
Vẽ tiếp AACD theo trường hợp (c.c.c): AC = 3cm (đã có); AD - 3cm; CD = 3,5cm.
Đặt tên các đỉnh của tứ giác ở hình 10-SGK như hình 1.4.
Vẽ AADC theo trường hợp (c.g.c): D = 70° ; AD = 2cm; DC = 4cm.
Vẽ tiếp AABC theo .trường họp (c.c.c): AC đã có; AB = 1,5cm; BC = 3cm.
Hình 1.3 t	Hình 1.4
Nhận xét: Một tứ giác được xác định khi biết 5 yếu tố của nó trong đó số góc không quá 3.
Bài 5. Hướng dẫn: Vẽ các điểm A, B, c, D trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi M là giao điểm của AC và BD. Tọa độ của điểm M là (5; 6).
D. Bài tập luyện thêm
Tứ giác MNPQ có M - 120°; N - 100° và P = Ậ Q . Tính số đo các 4
góc p và Q.
Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại E. Các tia phân giác của góc c và góc D cắt nhau tại F. Chứng minh rằng ẤẼÌ + CFD = 180°.
Tứ giác ABCD có AD < CD, hai góc A và c bù nhau. Biết đường chéo BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng AB = BC.
AEB + CFD = 360° - A + Bt.9 + D. =360° -1^- = 180°.
2 2
Trên tia DC ta đặt DM = DA, điểm M nằm giữa c và D.
AMBD - AABD (c.g.c) , suy ra BM = BA và M., = A .
Ta có Â + C = 180° => mJ + c = 180°.
Mặt khác mJ + mJ = 180° nên c = mJ .
Do đó ABMC cân => BM = BC. Vậy BA = BC
(cùng bằng BM).	Hình 1.7
Nhận xét: Nếu AD > CD thì kết luận của bài
toán trên vẫn đúng. Khi đó trên tia DA ta đặt DM = DC rồi cũng chứng minh tương tự như trên ta được BA = BC.