Giải toán 8 Bài 11. Hình thoi
§11. Hình thoi A. Tóm tắt kiến thức Định nghĩa Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Tính chất Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Đặc biệt: Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau và là đường phân giác các góc của hình thoi. Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Cho hình thoi ABCD. Gọi M là trọng tâm của AABD, gọi N là trọng tâm của ACBD. Chứng minh rằng tứ giác BMDN là hình thoi. Giải. Gọi o là giao điểm của AC và BD. Ta có B AC 1 BD và OB = OD; OA = oc. Vì M là trọng tâm của AABD nên A Me AO và OM = ịoA. Vì N là trọng tâm của ACBD nên NeOC và ON = jOC. Ta có OA = oc nên OM - ON. Tứ giác BMDN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi. Nhận xér. Trong bài toán trên nếu ta thay ’’trọng tâm” bằng ’’trực tâm” hoặc ’’giao điểm ba đường phân giác” thì tứ giác BMDN vẫn luôn là hình thoi. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 73. Hướng dẫn ở hình a), tứ giác ABCD là hình thoi iheo định nghĩa. ở hình b), tứ giác EFGH là hình thoi theo dấu hiệu 4. Ở hình c), tứ giác IKMN là hình thoi theo dấu hiệu 3. Ở hình e), tứ giác ADBC là hình thoi theo định nghĩa. Bài 74. Hướng dẫn. Dùng định lí Py-ta-go bạn tính được cạnh hình thoi bằng a/ĨĨ cm. Chọn (B). nhau nên là hình thoi. Cách khác. Bạn chứng minh bốn tam giác vuông AHE, BFE, CFG, DHG bằng nhau, suy ra HE - EF - FG = GH, do đó tứ giác EFGH là hình thoi. Bài 76. Lời giải. Theo kết quả bài 48 thì tứ giác EFGH là hình bình hành. Ta có EF//AC và BD 1 AC nên EF ± BD Ta có EH // BD và EF 1 BD nên EH 1 EF, do đó Ê = 90° Hình bình hành EFGH có một góc vuông nên là hình chữ nhật. Bài 77. Lời giải Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành. Hình thoi cũng là một hình bình hành, nên giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi. Ta có BD là đường trung trực của AC nên A đối xứng với c qua BD. Hình 1,105 Hai điểm B và D đối xứng với chính nó qua BD. Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi. Tương tự, AC cũng là trục đối xứng của hình thoi. Bài 78. Lời giải. Kí hiệu các tứ giác như hình 1.106. Các tứ giác ICKD, KEMF là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau. Theo tính chất hình thoi, đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi. Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh thì thẳng hàng, suy ra I, K, M thẳng hàng. Tương tự, K, M, N thẳng hàng. Do đó các chốt I, K, M, N,... thẳng hàng. D. Bài tập luyện thêm Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CA. Vẽ điểm D đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AMCD là hình thoi. Tam giác ABC phẫi có thêm điều kiện gì thì tứ giác ABMD là hình thoi? Cho hình thoi ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại o. Qua o vẽ OH ± BC, OK ± AD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: Ba điểm H, o, K thẳng hàng, ba điểm M, o, N thẳng hàng. Tứ giác MHNK là hình thoi. Cho hình bình hành ABCD, AB = 6; BC = 4. Các tia phân giác của góc B và góc c cắt nhau tại K. Qua K vế một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng tứ giác AEFD là hình thoi. Gọi o là giao điểm của AF và DE. Chứng minh rằng nếu A = 120° thì oc 1 KF. Lởi giải, hướng dẫn, đáp sô a) Tứ giác AMCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành này có AM = MC (= -Ị-BC) nên là hình thoi. 2 b) Ta có AD // MC và AD = MC (cạnh đối của hình thoi). Do đó AD // BM và AD = BM (vì BM = MC) Suy ra tứ giác ABMD là hình bình hành. Hình bình hành ABMD là hình thoi khi AB = BM AB = BM = AM AABM đều, suy ra B = 60°. a) • Giả sử đường thẳng OH cắt AD tại K'. OH 1 BC mà BC // AD nên OK' 1 AD. Mặt khác OK ± AD nên K'=K, suy ra ba điểm H, o, K thẳng hàng. • Xét ABAD có OM là đường trung bình,suy ra OM // AD (1) Xét ABCD có ON là đường trung bình, suy ra ON // BC (2) Từ (1) và (2) theo tiên đề O-Clit ta được M, o, N thẳng hàng, b) ABOH = ADOK (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra OH = OK. ABOM = ADON (c.g.c), suy ra OM = ON. Do đó tứ giác MHNK là hình bình hành. Ta có O2 = B, (so le trong). Xét ABOH vuông tại H, có O, + B, - 90° , suy ra o, + O2 = 90° . Vậy MN ± KH. Hình bình hành MHNK có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi. a) Chứng minh AEKB và AFKC cân, suy ra EK = EB, FK = FC. Mặt khác EB = FC nên EK = FK. EF = BC = 4, suy ra EK = 2, do (Ịó EB = 2 và ÂE = 4. Hình bình hành AEFD có AD = AE (= 2) nên là hình thoi. Ta có OK là đường trung bình của AFAE nên OK // AE và OK = —y- 2 do đó OK // FC và OK = FC ( = 2). Tứ giác OKCF là hình bình hành. Nếu Ấ = 120°; C = 120° thì q = 60° , Hình 1.109 do đó AFCK đều. Suy ra CK = CF = 2. Hình bình hành OKCF có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi. Do đó oc ± KF.