Giải toán 8 Bài 6.Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

§6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng
phương pháp đặt nhân tử chung
A. Tóm tắt kiến thức
Quy tắc nhân đa thức với đa thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức.
Biết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: X2 (x + y) - x(x + y).
Giải. x2(x + y) - x(x + y) = (x + y)(x2 -x) = (x + y)x(x-l).
Ví dụ 2. Tìm X, biết: X3-9x = 0 .
Giải.
X3 -9x = 0 o x(x2
9) = 0
■9 = 0
x = 0 X = -3 X = 3.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng 5n2(n -l) + 5n(n -l)luôn chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
Giải. 5n2(n-l) + 5n(n-l) = (n-l)(5n2 + 5n) = 5(n-l)n(n + l).
Ta thấy tích ba số nguyên liên tiếp (n -l)n(n +1) là một số luôn chia hết cho 6, do đó 5(n-l)n(n + l) luôn chia hết cho 30 hay 5n2(n-l) + 5n(n-l) chia hết cho 30.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 39. Đáp số: a) 3x - 6y = 3(x - 2y);
-22	-3 ,	2 ( 2	_	<r\
yX +5x +x y= X I j + 5x + y I;
14x2y - 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x-3y + 4xy);
|x(y- 1)- |y(y- 1)= |(y-l)(x-y);
10x(x - y) - 8y(y - x) = 2(x-y)(5x + 4y).
Bài 40. Đáp số: a) 1500;	b) 8000000.
Bài 41. Lời giải, a) 5x(x - 2000) - X + 2000 = 0 5x(x - 2000) - (x - 2000) = 0
o (x - 2000)(5x -1) = 0 o X = 2000; X = I.
b) X3 -13x = 0 x(x2 -13) = 0 » x(x - VĨ3)(x + VÕ) = 0 X = 0; X = VĨ3; X = -y/Ĩ3.
Bài 42. Lời giải.
Thật vậy, ta có: 55n+1 - 55n = 55" (55 -1) = 54.55" luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.
D. Bài tập luyện thêm
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x2y4-6x3y3+9x4y2;	b) x2(2x-3y)-y2(2x-3y).
Tìm X, biết: (x + 3)5 = (x + 3)3.
Chứng minh rằng (2n -1)3 - (2n -1) luôn chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Lời giải, hướng dẫn, đáp sô
a) 3x2y4 -6x3y3 +9x4y2 = 3x2y2(y2 -2xy + 3x2);
x2(2x-3y) - y2(2x-3y)
= (2x - 3y)(x2 - y2) = (2x -3y)(x - y)(x + y).
(x+ 3)5 = (x + 3)3 (x + 3)5-(x + 3)3 = 0
« (x + 3)3 [(x + 3)2 -1] = 0 (x + 3)2 (x + 3 - l)(x + 3 +1) = 0
« (x + 3)(x + 2)(x + 4) = 0
x = -4 x = -3 X = -2.
(2n-l)3-(2n -l) = (2n-l)[(2n-l)2- 1]
= (2n - l)(2n - 2)2n = 4(2n - l)(n - l)n.
Ta chứng minh với mọi số nguyên n thì (2n -l)(n - l)n luôn chia hết. cho 6. Thật vậy: (2n - l)(n - l)n luôn chia hết cho 2.
Mặt khác: (2n - l)(n - l)n luôn chia hết cho 3, vì:
+ Nếu n chia hết cho 3 thì (2n - l)(n - l)n chia hết cho 3.
+ Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k +1 => n -1 = 3k chia hết cho 3.
+ Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 2n -1 = 2(3k + 2) -1 = 6k + 3 = 3(2k +1) chia hết cho 3.
Do đó (2n - l)(n - l)n luôn chia, hết cho 6.
Vậy (2n -1)2 - (2n -1) luôn chia hết cho 24.