Giải toán 8 Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

  • Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang trang 1
  • Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang trang 2
  • Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang trang 3
  • Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang trang 4
  • Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang trang 5
  • Bài 5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang trang 6
§5. Dựng hình bằng thước và compa.
Dựng hình thang
Tóm tắt kiến thức
Bài toán dựng hình trình bày đầy đủ gồm bốn bước:
Phân tích
Cách dựng
Chứng minh
Biện luận
Đối với một bài toán dựng hình đơn giản ta có thể chỉ trình bày hai bước là cách dựng và chứng minh.
Ví dụ giải toán
Ví dụ.
Giải
Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AD = 2,5; CD = 5; AC = 4; BC-3.
Hình 1.40
ỉ. Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài.
Ta thấy: AADC dựng được (c.c.c).
Điểm B còn lại thoả mãn hai điều kiện:
B nằm trên tia Ax // CD (tia Ax và c cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD).
B nằm trên cung tròn (C; 3).
Cách dựng
Dựng AADC sao cho: AD = 2,5 ; CD = 5 ; AC = 4.
Dựng tia Ax // CD (tia Ax và c cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD).
c) Dựng cung tròn (C; 3) cắt tia Ax tại B.
Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng.
Chứng minh
Vì AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang. Theo cách dựng, hình thang này có: AD = 2,5 ; CD = 5 ; AC = 4 ; BC - 3, thoả mãn đề bài.
Biện luận
Ta dựng được hai hình thang thoả mãn đề bài là hình thang ABCD và hình thang AB'CD. Ta nói bài toán có hai nghiệm hình.
Nhận xét: Sau khi dựng được AADC như trên, thì số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của cung tròn (C; 3) với tia Ax.
Nếu số giao điểm là 2 thì bài toán có 2 nghiệm hình.
Nếu số giao điểm là 1 thì bài toán có 1 nghiệm hình.
Nếu số giao điểm là 0 thì bài toán không có nghiệm hình.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
B
Hình 1.41
4
Bài 29. Hướng dẫn
Dựng xBy = 65°.
Dựng điểm c trên tia Bx sao cho BC = 4cm.
Dựng CA ± By.
Tam giác ABC là tam giác phải dựng.
y
B 2	,'c X
Hình 1.42
Bài 30. Lời giải
Cách dựng:
Dựng góc vuông xBy.
Trên tia Bx lấy điểm c sao cho BC = 2cm
Dựng cung tròn (C; 4) cắt tia Bx tại A.
Nối AC ta được AABC phải dựng.
Chứng minh:
Theo cách dựng, AABC có: A = 90° ; BC = 2 cm; AC = 4 cm thoả mãn đề bài.
Bài 31. Lời gi di
Cách dựng:
Dựng AADC sao cho: CD = 4cm; AD = 2cm; AC = 4cm.
Dựng tia Ax // CD (tia AX và c cùng nằm trên một nửa mặt phảng bờ AD).
Dựng điểm B trên tia Ax sao cho AB = 2cm. Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng.
Hình 1.43
Chứng minh:
Dựng điểm c trên tia Dx sao cho CD = 3cm.
Dựng cung tròn (C; 4) cắt tia Dy tại A.
Dựng tia Ax' // Dx (tia Ax' và c cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD).
Dựng DCy' = 80°, Cy' cắt tia Ax' tại B. Tứ giác ABCD là hình thang phải dựng. Chứng minh
Hình 1.45
Vì AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này theo cách dựng có: AB = AD = 2cm; AC = CD - 4cm, thoả mãn đề bài.
Vì AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang.
Hình thang này có c = D = 80° nên là hình thang cân.
Theo cách dựng ta có: CD = 3cm; AC = 4cm và D = 80°, thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Nhận xét: Sau khi đã dựng AADC và tia Ax' // DC thì có thể dựng điểm B theo cách khác: vẽ cung tròn (D; 4) cắt tia Ax' tại B.
Khi đó hình thang ABCD là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng
nhau.
Bài 34. Lời giải
Hình 1.46
Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài. Ta thấy:
AADC dựng được (c.g.c).
Điểm B còn lại thoả mãn hai điều kiện:
B nằm trên tia Ax // CD (tia Ax và c cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD)
B nằm trên cung tròn c (0; 3).
Cách dựng
Dựng AADC sao cho D = 90° ; AD = 2cm; DC = 3cm.
Dựng tia Ax // DC (tia Ax và điểm c cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD).
Dựng cung tròn (C; 3) cắt tia Ax tại B. Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng.
Chứng minh (bạn đọc tự giải).
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình là hĩnh thang ABCD và hình thang AB'CD.
D. Bài tập luyện thêm
Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB = 2cm; CD = 5cm; AD - 3cm và đường cao AH = 2cm.
Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD) biết: AB = 3cm; BC = 2cm; CD = 5cm. •
Dựng tam giác ABC vuông tại A biết AB + AC = 6cm và C = 25° .
Dựng góc có số đo bằng 75°.
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
Dựng AADH sao cho: H = 90° ;
AH = 2cm; AD = 3cm.
Trên tia DH dựng điểm c sao cho DC = 5cm.
Dựng tia Ax // CD (tia Ax và điểm c cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AD)
Trên tia Ax dựng điểm B sao cho AB = 2cm.
Tứ giác ABCD là hình thang phải dựng.
Dựng AADE sao cho: AD - DE = AE - 2cm.
Trên tia DE dựng điểm c sao cho DC - 5cm.
Dựng tia Ax // CD (Ax và c cùng thuộc một nửa mặt phảng bờ AD).
. „	 Hình 1.48
AB = 3cm.
Nối BC ta được tứ giác ABCD là hình thang cân phải dựng.
Pìĩân tích
Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.
Khi đó DC = DA + AC = AB + AC = 6cm.
Trên tia Ax dựng điểm B sao cho
AADB vuông cân nên D = 45°,
D ' A\	c
ABDC dựng 'được ngay (g.c.g)
Đỉnh A còn lại phải thoả mãn hai điểu kiện:
Điểm A nằm trên cạnh CD.
Điểm A nằm trên đường trung trực của	Hinh 1 49
BD.
Cách dựng
Dựng ABDC sao cho: D = 45° ; DC - 6cm; C = 25° .
Dựng đường trung trực của BD cắt DC tại A.
Nối AB ta được AABC là tam giác vuông phải dựng.
Chứng minh
Ta có điểm A nằm trên đường trung trực của BD nên AB = AD.
AABD cân tại A nên B = D = 45° , do đó A = 90° .
AABC có AB + AC = AD + AC = DC = 6cm; Â = 90° ; c = 25° thoả mãn yêu cầu của bài toán.
X
Dựng tam giác đều ABC được ABC = 60°.
Dựng tia Bx 1 BC (tia Bx và điểm A cùng nằm trên một nửa mặt phảng bờ BC), được ẤBx=30°.
Dựng tia phân giác By của góc ABx được
-----	. _n	Hình 1.50
ABy = 15°.
Khi đó CBy = 75° .