Giải toán 8 Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
§3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ Tóm tắt kiến thức Quy tắc nhân đa thức với đa thức. Các hằng đẳng thức: (A + B)2 = A2+2AB + B2 (A-B)2 =A2-2AB + B2 A2-B2 = (A-B)(A + B). Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Rút gọn: (a2 -2ab + b2)(a2 +2ab + b2) Giải, (a2 - 2ab + b2 )(a2 + 2ab + b2) = (a - b)2 (a + b)2 = [(a-b)(a + b)]2=(a2-b2)2 Ví dụ 2. Tim X, biết: (x - 8)2 - (x - 2)(x + 2) = 4. Giải, (x-8)2-(x-2)(x + 2) = 4 X2-16x + 64-(x2-4) = 4 -16x = -64 X = -4. Ví dụ 3. Tính: (x + y-l)(x + y + l) Giải. (x + y-l)(x + y + l) = [(x + y)-l][(x + y) + l] = (x + y)2 -1 = X2 + 2xy + y2 -1. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 16. Lời giải, a) X2 + 2x + 1 = (x + 1) 2; 9x2 + y2 + 6xy = (3x + y)2; 25a2 + 4b2 - 20ab = (5a - 2b)2; x2-x+Hx~ỉh Bài 17. Lời giải. Ta có VT = (10a + 5)2 = 100a2 +100a + 25 = (100a2 +1 OOa) + 25 = 100a(a +1) + 25 = VP (đpcm). Cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5 là: Bước 1: Tìm số tự nhiên a, sao cho số đã cho viết được dưới dạng 10a + 5. Bước 2: Lấy a nhân với a +1 và nhân với 100, rồi cộng với 25. Áp dụng tính: 252, ta được a = 2 nên 252 =2.3.100 + 25 = 625. 352, ta được a = 3 nên 352 =3.4.100 + 25 = 1225. Tương tự: 652 = 6.7.100 + 25 = 4225; 752 = 7.8.100 + 25 = 5625. Bài 18. Lời giai, a) X2 + 6xy + 9y2= (x + 3y) 2 ; b) X2 - lOxy + 25y2 = (x - 5y)2 . Bài 19. Lời giải. Diện tích miếng tôn ban đầu là (a + b)2 . Diện tích miếng tôn cắt đi là (a - b)2. Diện tích miếng tôn còn lại là (a+ b)2-(a-b)2 = a2+2ab + b2-a2 + 2ab-b2 = 4ab. Diện tích miếng tôn còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt. Bài 20. Đáp số. Sai Bài 21. Lời giải, a) 9x2 - 6x + 1 = (3x — l)2; b) (2x + 3y)2 + 2 ,(2x + 3y) + 1 = [(2x + 3y) + lf = (2x + 3y + l)2. Bài 22. Lời giải. a) Ta có 1012 = (100 +1)2 = 10000 +200 +1 = 10201; b) Ta có 1992 = (200 -1)2 = 40000- 400 +1 = 39601; Ta có 47.53 = (50-3)(50 + 3) = 502 -32 = 2500-9 = 2491. Bài 23. Lời giải, a) Ta có VT = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a2 -2ab + b2) + 4ab = (a -b)2 + 4ab = VP (đpcm). Áp dụng:(a-b)2 = 72 -4.12 = 1. b) Ta có VT = (a-b)2 = a2-2ab + b2 = (a2 +2ab + b2)-4ab - (a + b)2 -4ab = VP (dpcm). Áp dụng: (a + b)2 = 202 + 4.3 = 412 . Bài 24. Lời giải. Ta có: 49x2 - 70x + 25 = (7x - 5)2 Với X = 5 thì biểu thức bằng 900; Với X = ỳ thì biểu thức bằng 16. Bài 25. Lời giải. (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc . (a + b - c)2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 -2ac-2bc + c2 = a2 +b2 +c2 + 2ab-2ac-2bc. (a-b-c)2 = (a-b)2 -2(a-b)c + c2 = a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc . D. Bài tập luyện thêm Kết quả của phép tính (x-1)2 (x + 1)2 là (A)x4 + 1; (B)x4-2x2+1; (C)x2-1; (D)x4+2x2 + 1. Rút gọn các biểu thức: a) (2x-l)2 +(l-2x)(2x + l) + (x + 2)2 +6x + 3 b) 4(x-2y)(x + y) + 4(x + y)2 + (x-2y)2 -12xy + 4y2 . Tim giá trị lớn nhất hoặc nhộ nhất của biểu thức: A = X4 -32x2 + 257 ; b)B = — . x-lóx + 65 Hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp bằng 2020. Tim hai số đó. Lời giải, hướng dẫn, đáp số Chọn (B). a) (2x -l)2 + (1 - 2x)(2x +1) + (x + 2)2 + 6x + 3 = 4x2 -4x +1+ (1-4x2) +X2 + 4x + 4 +6x + 3 = X2 + 6x + 9 = (x+ 3)2. 4(x - 2y)(x + y) + 4(x + y)2 + (x - 2y)2 -12xy + 4y2 = 4x2 +4xy-8xy-8y2 +4x2 +8xy + 4y2 + x2 -4xy + 4y2 -12xy + 4y2 = 9x2 - 12xy+ 4y2 = (3x-2y)2. a) A = X4 -32x2 +257 = (x4 -2.16.X2 + 256) + l =(x2 -16)2 +1. Vì (x2-16)2 >0 với mọi X nên A>1. Vậy A nhỏ nhất bằng 1 khi X2 -16 = 0, suy ra X = ±4 . 2 2 B = -y- 7= —-73— x-lóx + 65 (x-8)2+1 Vì (x -8)” +1 > 1 nên 0 X = 8. Gọi số thứ nhất là X thì số thứ hai là X + 2 . Ta có (x + 2)2 -X2 = 2020 (x + 2 - x)(x + 2 + x) = 2020 2(2x + 2) = 2020 2x + 2 = 1010 « X = 504. Hai số đó là 504 và 506.