Giải toán 8 Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

  • Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ trang 1
  • Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ trang 2
  • Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ trang 3
  • Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ trang 4
§3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Tóm tắt kiến thức
Quy tắc nhân đa thức với đa thức.
Các hằng đẳng thức:
(A + B)2 = A2+2AB + B2 (A-B)2 =A2-2AB + B2 A2-B2 = (A-B)(A + B).
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Rút gọn: (a2 -2ab + b2)(a2 +2ab + b2)
Giải, (a2 - 2ab + b2 )(a2 + 2ab + b2) = (a - b)2 (a + b)2
= [(a-b)(a + b)]2=(a2-b2)2
Ví dụ 2. Tim X, biết: (x - 8)2 - (x - 2)(x + 2) = 4.
Giải, (x-8)2-(x-2)(x + 2) = 4 X2-16x + 64-(x2-4) = 4 -16x = -64 X = -4.
Ví dụ 3. Tính: (x + y-l)(x + y + l)
Giải. (x + y-l)(x + y + l) = [(x + y)-l][(x + y) + l]
= (x + y)2 -1 = X2 + 2xy + y2 -1.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 16. Lời giải, a) X2 + 2x + 1 = (x + 1) 2;
9x2 + y2 + 6xy = (3x + y)2;
25a2 + 4b2 - 20ab = (5a - 2b)2;
x2-x+Hx~ỉh
Bài 17. Lời giải. Ta có VT = (10a + 5)2 = 100a2 +100a + 25
= (100a2 +1 OOa) + 25 = 100a(a +1) + 25 = VP (đpcm).
Cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5 là:
Bước 1: Tìm số tự nhiên a, sao cho số đã cho viết được dưới dạng 10a + 5.
Bước 2: Lấy a nhân với a +1 và nhân với 100, rồi cộng với 25.
Áp dụng tính:
252, ta được a = 2 nên 252 =2.3.100 + 25 = 625.
352, ta được a = 3 nên 352 =3.4.100 + 25 = 1225.
Tương tự: 652 = 6.7.100 + 25 = 4225; 752 = 7.8.100 + 25 = 5625.
Bài 18. Lời giai, a) X2 + 6xy + 9y2= (x + 3y) 2 ; b) X2 - lOxy + 25y2 = (x - 5y)2 .
Bài 19. Lời giải. Diện tích miếng tôn ban đầu là (a + b)2 .
Diện tích miếng tôn cắt đi là (a - b)2.
Diện tích miếng tôn còn lại là
(a+ b)2-(a-b)2 = a2+2ab + b2-a2 + 2ab-b2 = 4ab.
Diện tích miếng tôn còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Bài 20. Đáp số. Sai
Bài 21. Lời giải, a) 9x2 - 6x + 1 = (3x — l)2;
b) (2x + 3y)2 + 2 ,(2x + 3y) + 1 = [(2x + 3y) + lf = (2x + 3y + l)2.
Bài 22. Lời giải. a) Ta có 1012 = (100 +1)2 = 10000 +200 +1 = 10201; b) Ta có 1992 = (200 -1)2 = 40000- 400 +1 = 39601;
Ta có 47.53 = (50-3)(50 + 3) = 502 -32 = 2500-9 = 2491.
Bài 23. Lời giải, a) Ta có VT = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a2 -2ab + b2) + 4ab = (a -b)2 + 4ab = VP (đpcm).
Áp dụng:(a-b)2 = 72 -4.12 = 1.
b) Ta có VT = (a-b)2 = a2-2ab + b2 = (a2 +2ab + b2)-4ab - (a + b)2 -4ab = VP (dpcm).
Áp dụng: (a + b)2 = 202 + 4.3 = 412 .
Bài 24. Lời giải. Ta có: 49x2 - 70x + 25 = (7x - 5)2
Với X = 5 thì biểu thức bằng 900;
Với X = ỳ thì biểu thức bằng 16.
Bài 25. Lời giải.
(a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .
(a + b - c)2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 -2ac-2bc + c2 = a2 +b2 +c2 + 2ab-2ac-2bc.
(a-b-c)2 = (a-b)2 -2(a-b)c + c2
= a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc .
D. Bài tập luyện thêm
Kết quả của phép tính (x-1)2 (x + 1)2 là
(A)x4 + 1;	(B)x4-2x2+1;	(C)x2-1;	(D)x4+2x2 + 1.
Rút gọn các biểu thức:
a) (2x-l)2 +(l-2x)(2x + l) + (x + 2)2 +6x + 3
b) 4(x-2y)(x + y) + 4(x + y)2 + (x-2y)2 -12xy + 4y2 .
Tim giá trị lớn nhất hoặc nhộ nhất của biểu thức:
A = X4 -32x2 + 257 ;	b)B = —	.
x-lóx + 65
Hiệu các bình phương của hai số chẵn liên tiếp bằng 2020. Tim hai số đó.
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
Chọn (B).
a) (2x -l)2 + (1 - 2x)(2x +1) + (x + 2)2 + 6x + 3
= 4x2 -4x +1+ (1-4x2) +X2 + 4x + 4 +6x + 3 = X2 + 6x + 9 = (x+ 3)2.
4(x - 2y)(x + y) + 4(x + y)2 + (x - 2y)2 -12xy + 4y2
= 4x2 +4xy-8xy-8y2 +4x2 +8xy + 4y2 + x2 -4xy + 4y2 -12xy + 4y2 = 9x2 - 12xy+ 4y2 = (3x-2y)2.
a) A = X4 -32x2 +257 = (x4 -2.16.X2 + 256) + l =(x2 -16)2 +1.
Vì (x2-16)2 >0 với mọi X nên A>1. Vậy A nhỏ nhất bằng 1 khi X2 -16 = 0, suy ra X = ±4 .
2 2
B = -y-	7= —-73—
x-lóx + 65	(x-8)2+1
Vì (x -8)” +1 > 1 nên 0 X = 8.
Gọi số thứ nhất là X thì số thứ hai là X + 2 .
Ta có (x + 2)2 -X2 = 2020 (x + 2 - x)(x + 2 + x) = 2020 2(2x + 2) = 2020 2x + 2 = 1010 « X = 504.
Hai số đó là 504 và 506.