Giải toán 8 Bài 8. Đối xứng tâm

§8. Đối xứng tâm
A. Tóm tắt kiến thức
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm o nếu o là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
A đối xứng với A' qua o 
A, o, A’ thẳng hàng OA = OA'
	•	1	•
o
Hình 1.71
Ó\
Hình 1.72
Điểm o gọi là tâm đối xứng của hình 76 nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình 76 qua điểm o cũng thuộc hình 76.
Trong hình bình hành, giao điểm của
hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC, o là một điểm nằm giữa B và c. Vẽ các điểm D, E, F lần lượt đối xứng với A qua B, o, c.
Chứng minh rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Xác định vị trí của điểm o để D và F đối xứng qua E.
Giải, a) Vì D, E, F lần lượt đối xứng với A qua B, o, c nên AB = BD; AO = OE và AC = CF.
Xét A ADE có BO là đường trung bình nên BO // DE hay DE // BC	(1)
Xét AADF có BC là đường trung bình nên DF // BC	(2)
Từ (1) và (2) theo tiên đề O-Clit, suy ra ba điểm D, E, F thẳng hàng.
b) Ta có DE - 2B0; EF = 20C.
Vì ba điểm D, E, F đã thẳng hàng nên D và F đối xứng qua E khi ED = EF « 2B0 = 2OC » OB = oc,
Suy ra o là trung điểm của BC.
Nhận xét: Câu a) là câu chuẩn bị cho câu b). Nếu không chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng mà chỉ chứng minh ED = EF rồi kết luận D và F đối xứng qua E thì bạn đã mắc sai lầm lớn.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 50. Hướng dẫn: Vẽ điểm A' thẳng hàng với A và B sao cho BA' = BA. Vẽ điểm C' thẳng hàng với c và B sao cho BC' - BC.
Bài 51. Hướng dẫn-. Vẽ điểm K thẳng hàng với o và H sao cho
OK = OH. Tọa độ của K là ( - 3; - 2). Bài 52. Lời giải. Ta có ABCD là hình bình hành nên AB - CD.
Mặt khác CD = CF nên AB = CF (1) Ta có AB // CD nên AB // CF (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành.
Do đó BF // AC và BF = AC (3)
Chứng minh tương tự ta được BE // AC và BE = AC (4) Từ (3) và (4) suy ra ba điểm B, E, F thẳng hàng và BF = BE. Do đó điểm E đối xứng với điểm F qua B.
Bài 53. Lời giải. Tứ giác ADME có MD // AB; ME // AC nên là hình bình hành. Điểm I là trung điểm của đường chéo DE nên I cũng là trung điểm của AM, do đó A và M đối xứng qua I.
Bài 54. Lời giải. Tứ giác AHOK là hình bình hành, suy ra OH = KA mà KC = KA nên KC = OH.
Mặt khác KC // OH nên tứ giác CKHO làhình bình hành, suy ra oc // KH và oc = KH (1)
Chứng minh tương tự ta được OB // KH và OB = KH (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, o, c thẳng hàng và OB = oc. Do đó B và c đối xứng qua o.
Cách khác: AHOB = AKCO (c.g.c), suy ra OB = oc và HOB = C
Tacó KOC + C = 90° nên K0C + H0B = 9O° do đó BOC = 180°
Suy ra ba điểm B, o, c thẳng hàng. Do đó B và c đối xứng qua o.
Hìnlĩ 1.76
Bài 55. LỜ7 giải. ABCD là hình bình
hành nên AB // CD và OB - OD.
Ta có: Bi = Di (so le trong)
O| = Ô2 (đối đỉnh)
AOMB = AOND (g.c.g)
Suy ra OM - ON, do đó M và N đối xứng qua o.
Bài 56. Hướng dẫn: Hình a) và c) có tâm đối xứng.
Bài 57. Hướng dẫn: a) đúng; b) sai; c) đúng.
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm M và điểm N lần lượt đối xứng với B và c qua A. Một đường thẳng đi qua A cắt BC và MN lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng D và E đối xứng qua A.
Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC. Vẽ điểm D đối xứng với B qua M. Vẽ điểm E đối xứng với D qua A. Vẽ điểm F đối xứng với E qua B. Chứng minh rằng D và F đối xứng với nhau qua c.
Cho điểm o nằm trong tam giác ABC. Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Vẽ các điểm D, E, F theo thứ tự là điểm đối xứng với o qua p, N, M. Chứng minh rằng ADEF = AABC.
,4. Tam giác ABC có AB < AC và M là trung điểm của BC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua M và E là điểm đối xứng với A qua BC. Chứng minh rằng tứ giác BCDE là hình thang cân.
Lời giải, hưởng dẫn, đáp sô
1. AABC = AAMN (c.g.c), suy ra B = M AABD = AAME (g.c.g), suy ra AD = AE.
Vậy D và E đối xứng qua A.
Hình 1.77
giác ABCD là hình bình hành.
Suy ra AD // BC và AD = BC, do đó AE // AC và AE = BC.
Suy ra tứ giác AEBC là hình bình hành.
Ta có EB // AC và EB = AC, do đó BF // AC và BF = AC, suy ra tứ giác ACFB là hình bình hành.
Suy ra CF // AB và CF = AB (1)
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên CD // AB và CD = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm D, c, F thẳng hàng và CD = CF, từ đó suy ra D và F đối xứng qua c.
Ta có DE = BC (= 2MP),
EF = AC (= 2MN),
FD = AB (= 2NP).
Do đó ADEF = AABC (c.c.c).
HM là đường trung bình của AAED
nên HM // ED do đó BC // ED. Vậy tứ giác BCDE là hình thang.
A và E đối xứng qua BC nên CE = CA (1)
Tứ giác ABDC là hình bình hành nên BD = CA (2)
/ r
. \m ..
\'x
E	D
Hình 1.78
Hình 1.79
Hình 1.80
Từ (1) và (2) suy ra CE = BD, do đó BCDE là hình thang cân.