Giải toán 8 Ôn tập chương I

ôn tập chương I
Tóm tắt kiến thức
Các nội dung chính :
Tứ giác.
Hình thang, hình thang cân.
Hình bình hành và các dạng đặc biệt của nó (hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông).
Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH. Vẽ hình vuông AHDE (DeHC). Gọi F là giao điểm của DE và AC.
Chứng minh rằng AB = AF.
Vẽ tia Bx // AC, tia Fy // AB, hai tia này cắt nhau tại K. Chứng minh rằng tứ giác ABKF là hình vuông.
Gọi o là giao điểm của AK và BF. Chứng minh ba điểm H, o, E thẳng hàng.
Hình 1.119
Giải, a) AABH và AAFE có: H = Ê = 90° ,
AH = AE (haì cạnh hình vuông),
A| = Aọ (cùng phụ với HAC), do đó AABH - AAFE (g.c.g), suy ra AB - AF.
Tứ giác ABKF có hai cặp cạnh 'đối song song nên là hình bình hành.
Hình bình hành này có A = 90° nên là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật này có AB = AF nên là hình vuông.
Ta có OB = OF (tính chất đường chéo hình vuông).
Xét các tam giác vuông ABF, DBF ta có OA = OD = ^-BF.
Xét hình vuông AHDE có HA = HD; EA = ED.
Ba điểm o, H, E cách đều hai đầu đoạn thẳng AD nên chúng nằm trên đường trung trực của AD, do đó chúng thẳng hàng.
Nhận xét: Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng trong ví dụ trên dựa vào tính chất: điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Nếu câu c đổi lại là chứng minh ba đường thẳng AK, BF và HE đồng quy thì ta lại đưa về chứng minh ba điểm H, o, E thẳng hàng.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 87. Trả lời: a) Hình bình hành, hình thang, b) Hình bình hành, hình thang, c) Hình vuông.
Bài 88. Lời giải. Theo kết quả của bài 48 thì tứ giác EFGH là hình bình hành. Các cạnh của hình bình hành này song song và bằng nửa các đường chéo của tứ giác ABCD.
Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật, suy ra EH 1 EF AC ± BD (vì EF // AC; EH // BD).
Hình bình hành ÈFGH là hình thoi,
suy ra EH = EF BD = AC (vì EH = |bD ; EF = I AC).
Hình bình hành EFGH là hình vuông, suy ra EFGH là hình chữ nhật o AC i BD. Vậy EFGH là hình vuông AC = BD.
Lưu ỷ: Úng với mỗi trường hợp cần vẽ lại hình theo các điều kiện vừa tìm được. Kí hiệu cho biết điều kiện tìm ra là “không thiếu” và “không thừa”.
Bài 89. Lời giải.
MD là đường trung bình của AABC nên MD // AC.
Do AB 1 AC nên MD 1 AB.
A
Hình 1.12 ì
Vậy AB là đường trung trực của ME, do đó E và M đối xứng qua AB.
Ta có EM // AC và EM = AC (vì cùng bằng 2DM) nên AEMC là hình bình hành.
Tứ giác AEBM có hai đường
chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc AB ± EM nên là hình thoi.
c) Vì BC - 4cm nên BM = 2cm.
Chu vi của hình thoi AEBM là 2.4 = 8 (cm)
Hình thoi AEBM là hình vuông, suy ra AB = EM AB = AC (vì EM = AC). Vậy AABC vuông cân tại A (vì đã có A = 90°).
Bài 90. Hướng dẫn.
Hình 110, SGK có hai trục đối xứng và có một tâm đối xứng.
Hình 1 11, SGK có hai trục đối xứng và có một tâm đối xứng.
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi o là giao điểm của BC với MN. Chứng minh rằng M và N đối xứng qua o.
Cho góc xOy và hai điểm A, B nằm trong góc đó. Dựng điểm c e Ox và điểm D e Oy sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành.
Cho tam giác đều ABC. Gọị D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Chứng minh rằng tứ giác DECB là hình thang cân.
Chứng minh rằng tứ giác DECF là hình thoi.
Gọi G là điểm đối xứng với D qua E. Chứng minh tứ giác AGCD là hình chữ nhật.
Chứng minh ba đường thẳng CD, BG và EF đồng quy.
Cho tam giác ABC, đường phân giác BD. Trên BD lấy điểm E. Đường thẳng qua E và song song với BC cắt AB tại F. Đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC tại G.
Tứ giác BFEG là hình gì?
Vẽ điểm H đối xứng với B qua F, vẽ điểm K đối xứng với E qua F. Tứ giác BKHE là hình gì?
Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác BKHE là hình vuông.
Lời giải, hướng dẫn, đáp sỏ
Cách 1: Vẽ MD // BC (D e BC).
Hình thang BMDC có B = C nên là hình thang cân, do đó BM - CD mà BM = CN nên CD = CN.
Xét ANMD có CO // MD và CD = CN nên OM = ON,
suy ra M và N đối xứng qua o.	Hình 1.122
Cách 2: Vẽ ME // AC (E e BC).
Chứng minh AMBE cân, suy ra ME = CN.
Kết hợp với ME // CN ta được tứ giác MENC là hình bình hành suy ra OM = ON, dẫn tới điều phải chứng minh.
Cách dựng
Dựng trung điểm M của AB.
Dựng điểm N đối xứng với o qua M.
Dựng ND // Ox (D e Oy) vàNC//Oy (CeOx).
Ta được tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bạn đọc tự chứng minh.
Do đó DE // CF và DE = CF (vì	Hình 1.124
CF = ^).
2
Suy ra tứ giác DECF là hình bình hành.
Hình bình hành này có CE = CF ( =	) nên là hình thoi.
Tứ giác AGCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Ta có CD ± AB (tính chất đường trung tuyến của tam giác đều)
Hình bình hành AGCD có CDA = 90° nên là hình chữ nhật.
Ta có DG // BC và DG = BC ( = 2DE) nên DGCB là hình bình hành. Suy ra BG cắt CD tại trung điểm o của CD.
Xét hình thoi DECF có đường chéo EF cắt đường chéo CD tại trung điểm o của CD. Do đó ba đường thẳng CD, BG và EF đồng quy tại trung điểm o của CD.
a) Tứ giác BFEG có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. Hình bình hành này có Bi = B2 nên là hình thoi.
Tứ giác BKHE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Ta có FB - FE (hai cạnh của hình thoi), suy ra HB = KE, do đó hình bình hành BKHE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BKHE là hình vuông khi BH ± KE BH ± BC (vì KE // BC). Vậy AABC vuông tại B thì tứ giác BKHE là hình vuông.