Giải toán 8 Bài 12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

§12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Tóm tắt kiến thức
Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
Quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức, nhân đa thức với đa thức.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B khác 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
+ A: Đa thức bị chia + B: Đa thức chia + Q: Đa thức thương + R: Đa thức dư
+ Khi R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Số dư khi chia đa thức 2x4 - X3 + X2 - X + 4 cho đa thức X - 2 là (A) 18;	(B)30;	(C) 46;	(D) 50.
Hãy chọn phương án đúng.
Giải. Chọn (B).
Phân tích: 2x4 - X3 + X2 - X + 4 = 2x4 -4x3 + 3x3 -6x2 + 7x2 -14x + 13x-26 + 30 = 2x3(x-2) + 3x2(x-2) + 7x(x-2) + 13(x-2) + 30
= (x-2)(2x3+3x2+7x + 13) + 30.
Vậy số dư khi chia đa thức cho X - 2 là 30.
Ví dụ 2. Thực hiện phép tính:
(x3+3x2+3x + l):(x + l);
(x3 + 6x2 +1 lx + 6): (x2 + 3x + 2).
Giải, a) (x3+3x2+3x +1): (x +1) = (x + 1)3 :(x + l) = (x + 1)2. b) (x3 + 6x2 +1 lx + 6): (x2 +3x + 2)
= (x3+3x2 + 2x+3x2+9x+ 6): (x2+3x + 2)
= [x(x2 +3x + 2) + 3(x2 +3x + 2)J : (x2 +3x + 2)
= (x+ 3)(x2+3x+ 2): (x2+3x + 2) = x + 3.
Ví dụ 3. Tim a sao cho:
Đa thức X4 + 3x3 - X2 + X + a chia hết cho đa thức X - 2 ;
Đa thức 5x3 - 2x2 + ax + 3 chia hết cho đa thức X +1.
Giải, a) Đa thức X4+3x3-X2+ x + a chia hết cho đa thức x-2 khi số dư trong phép chia đa thức X4 + 3x3 - X2 + X + a cho đa thức X - 2 bằng 0 tức là 24 +3.23 -22 +2 + a = 0 «> 38 + a = 0 a =-38.
b) Tương tự được a = -4.
Chú ý. Trong lời giải trên, ta đã sử dụng kết quả sau (Định lí Bơdu):
Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (x - a) là f(a). Điều này là rõ ràng vì f(x) - (x - a).Q(x) + R nên f(a) = R. Đặc biệt, đa thức f(x) chia hết cho X - a khi a là nghiệm của f(x), tức f(a) = 0.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 67. Đáp sổ. a) X2 + 2x -1;	b)2x2-3x 4-1.
Bài 68. Lời giải, a) (x2 + 2xy + y2): (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = X + y ; b) (125x3+ 1): (5x + l)
= (5x + l)(25x2 - 5x +1) : (5x +1) = 25x2 - 5x +1;
Tương tự câu a kết quả: y - X.
Bài 69. Lời giải. Thực hiện phép chia A cho B ta có: Q = 3x2 + X-3;R = 5x-2
+ X - 3) + 5x - 2 .
,, 5 2 _ 1 ■ b) —X y--y-
2 2 b) Có;.
b) 9x2 +3x + l; d) X - 3.
Do đó 3x4 + X3 + 6x - 5 = (x2 + l)(3x2 Bài 70. Đáp số. a) 5x3 - X2 + 2;
Bài 71. Đáp số. a) Có;
Bài 72. Đáp số. 2x2 + 3x - 2.
Bài 73. Đáp số. a) 2x + 3y;
2x-t-l;
Bài 74. Đáp số. a = 30.
D. Bài tập luyện thêm
Thục hiện phép tính:
(x4-6x3+ 12x2-14x + 3): (x2-4x + l);
(x4-3x3+4x2-6x + 4): (x2-3x + 2).
Thực hiện phép tính: (x -2)3(x2 -5x + 6): (x2 -4x + 4)(x -3).
Tìm a, b sao cho:
Đa thức 3x3 - ax2 + bx chia hết cho đa thức X2 -1;
Đa thức X4 + ax3 +bx -3 chia hết cho đa thức X2 + 2x - 3 .
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
a) (x4 - 6x3 +12x2 - 14x + 3): (x2 - 4x +1)
= [(x4 -4x3 + x2)-(2x3 -8x2 +2x) + (3x2 -12x + 3)] :(x2 -4x + l)
= [x2(x2 - 4x +1) - 2x(x2 -4x +1) + 3(x2 - 4x +1)] : (x2 - 4x +1)
= X2 -2x + 3;
b)(x4-3x3+4x2-6x+ 4): (x2-3x+ 2)
= [(X4 -3x3 +2x2) + (2x2 -6x + 4)J:(x2 -3x + 2)
= J\2(x2-3x + 2) + 2(x2-3x + 2)J : (x2-3x + 2) =x2+2.
(x -2)3(x2 -5x + 6): (x2 -4x + 4)(x-3)
= (x - 2)3(x - 3)(x - 2): (x - 2)2(x -3) = (x - 2)2.
a) X2—1 = (x — l)(x + 1), đa thức 3x3-ax2+bx chia hết cho đa thức X2—1 khi nó chia hết cho đa thức x-lvà đa thức x + 1 tức 3x3 -ax2 + bx nhận X = 1 và X = -1 là nghiệm.
3.13-a.l2 +b. 1 = 0
a -b = 3
a = 0
Khi đó ■
 •
 í
3.(-l)3-a.(-l)2+b.(-l) = 0
a + b = -3
b = -3
b) Ta cóx2 +2x - 3 = 0 X2 -X + 3x - 3 = 0 (x2 -x) + (3x-3) - 0 ị"x = l
X = -3.
 x(x -1) + 3(x -1) = 0 (x - l)(x + 3) = 0 
Do đó để đa thức X4 + ax3 + bx -3 chia hết cho đa thức X2 + 2x -3 thì đa thức x4+ax3+bx-3 nhân các nghiệm là X = 1; X - -3.
Khi đó <
a + b = 2 9a + b = 26
I4 + a. I3 + b. 1 - 3 = 0
(-3)4+a.(-3)3+b.(-3)-3 = 0