Giải toán 8 Bài 2. Hình thang

§2. Hình thang
B. Ví dụ giải toán Ví dụ.
Giải.
Hình thang ABCD (AB // CD) có BD = BC = CD = 2AB.
Chứng minh rằng hình thang này là hình thang vuông.
Tính các góc của hình thang ABCD.
Vẽ BH ± CD thì HC = HD (tính chất của tam giác đều).
1
Hình 1.10
A. Tóm tắt kiến thức
1. Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song (h. 1.8)
ABCD là hình thang	■
ABCD là tứ giác (đáy AB, CD)
AB//CD.
2. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông (h. 1.9)
\	B
n	\
D
c	D	c
Hình 1.8
//ừi/í 1.9
Suy ra AB = DH ( = - CD).
Hình thang ABHD có hai cạnh đáy bằng nhau nên hai cạnh bên song song.
Do đó AD // BH, suy ra AD 1 CD.
Hình thang ABCD có D = 90° nên là hình thang vuông.
Ta có Â + D = 180°; Â = 180° -D = 90° ; B + C = 180° => C = 60° (góc của tam giác đều), nên B = 180 - c = 120° .
Nhận xét: • Hình thang vuông, theo định nghĩa là hình thang có một góc vuông. Nhưng nếu hình thang có một góc vuông thì nó còn có thêm một góc vuông thứ hai.
• Những bài toán về hình thang, nếu cần vẽ đường phụ thì thường có ba cách vẽ sau:
Từ một đỉnh vẽ đường thẳng song song với một cạnh bên.
Từ một đỉnh vẽ đường thẳng song song với một đường chéo.
Từ một đỉnh vẽ đường cao của hình thang.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 6. Trả lời: Tứ giác ABCD ở hình a); tứ giác MNIK ở hình c) đều là hình thang.
Bài 7. Đáp số: Hình 2la, SGK: X = 100°; y = 140°. Hình 21b, SGK: X = 70°; y = 50° Hình 21c, SGK: X = 90°; y = 115°
Hình 1.11
Bài 8. Lời giải. Vì AB // CD nên  + D = 180°.
Mặt khác  - D = 20°
nên  = (180°+20°): 2 = 100° ;
D = 180° -100° = 80° .
Tương tự, B + C = 180° mà B = 2C nên
c = 180°:3 = 60°; B = 180°-60° = 120° .
Bài 9. Lời giải. Ta có AB = BC nên ABC cân, do đó Ai = Ci
Mặt khác Ai = A? nên Cl = A2 Suy ra BC // AD (vì có cặp góc so le - trong bằng nhau)	Hình 1 J2
Do đó tứ giác ABCD là hình thang.
Bài 10. Đáp số: Có 6 hình thang: ABDC, ABFE, ABHG, CDFE, CDHG, EFHG.
D. Bài tập luyện thêm
Cho hình 1.13, chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Cấc tia
M. Đường thẳng qua M và song song với hai
đáy cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F.
Tim các hình thang trong hình.
Chứng minh rằng EF = ED + FC.
Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Chứng minh rằng:
b) A + B>c + D.
CD - AB > I BC - AD I;
Lời giải, hưởng dẫn, đáp số
Tacó A + D = B + C (=4x),mà (A + D) + (B + C) = 360°
nên  + D = 36ơ° :2 = 180°
Suy ra AB // CD, tứ giác ABCD là hình thang.
Hình 1.14
Tacó Ầ + D = 180° mà Â = D (=2x) nên D = 180°:2 = 90°. Hình thang ABCD có một góc vuông nên là hình thang vuông.
a) Vì AB // CD // EF nên các hình thang trong hình 1.14 là: ABFE, ABCD,
EFCD, EMCD, MFCD.
Ta có EF // CD => Ml = D2
mà D] = D2 nên Ml = Di.
Do đó ÀEMD cân, suy ra EM = DE (1)
(2)
Chứng minh tương tự ta được AFMC cân, suy ra MF = FC Từ (1) và (2) suy ra EM + MF = DE + FC hay EF = DE + FC.
a) Vẽ BM // AD, Me CD.
Xét hình thang ABMD có hai cạnh bên song song nên AB = DM; AD - BM.
Vì AB < CD nên DM < DC, do đó điểm M nằm giữa c và D.
Ta có CD - AB = CD - DM = CM (1)
|bc-ad| = |bc-bm|	(2)
(3)
BC - AD
Xét ABMC ta có: CM > I BC - BM Từ (1), (2), (3) suy ra CD - AB >
Nhận xét: Từ kết quả của câu a ta có tính chất: Trong một hình thang, hai đáy không bằng nhau thì hiệu hai đáy lớn hơn hiệu hai cạnh bên. b) Hai góc A và BMD cũng như hai góc D và ABM là hai góc có cạnh tương ứng song song cùng nhọn hoặc cùng tù nên chúng bằng nhau. Do đó: A = BMD > c (tính chất góc ngoài của tam giác),
ABC > ABM = D nên  + B > c + D .
Nhận xét: Từ kết quả của câu b ta có tính chất: Trong một hình thang, tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn hơn tổng hai góc kề đáy lớn.