Giải toán 8 Bài 6. Đối xứng trục

§6. Đối xứng trục
A. Tóm tắt kiến thức
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
A đối xứng với A' qua d 
AA' ± d
' AH = HA’ ■
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình 76 nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình 76 qua đường thẳng d cũng thuộc hình 76.
Trong hình thang cân, đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy là trục đối xứng của hình thang cân.
A’
Hình 1.51
d
Hình 1.52
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d không cắt nhau và hai đường thẳng AB và d không vuông góc với nhau. Vẽ điểm D đối xứng với điểm A, điểm c đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Chứng minh rằng:
Tứ giác ABCD là hình thang cân;
Ba đường thẳng AC, BD và d đồng quy.
Giải, a) Giả sử AD và BC cắt d lần lượt tại H và K.
Vì A và D đối xứng qua d nên AD ± d và HA - HD.
Vì B và c đối xứng qua d nẽn BC ± d và KB = KD.
Suy ra AD // BC (vì cùng vuông góc với d).
Do đó tứ giác ABCD là hình thang.
B
Hình 1.53
Ta có A đối xứng với D qua d, c đối xứng với B qua d nên đoạn thẳng AC đối xứng với đoạn thẳng DC qua d, do đó AC = BD.
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân. b) Đường thẳng d đi qua trung điểm hai đáy ' của hình thang ABCD nên d là trục đối xứng của hình thang. Gọi o là giao điểm của hai đường chéo thì o phải nằm trên d. Thực vậy, nếu o Ể d thì có điểm O' đối xứng với o qua
d, hình thang ABCD có hai giao điểm của các đường chéo, vô lí. Vậy o G d, suy ra AC, BD và d đồng quy tại o.
Nhận xét: Dựa vào hai điểm đối xứng, hai hình đối xứng qua một đường thẳng ta có thêm một cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai đoạn thẳng bằng nhau.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 36. Lời giải
Ox là đường trung trực của AB
nên OB - OA	(1)
Oy là đường trung trực của AC
nên oc = OA	(2) .
Từ (1) và (2) suy ra OB = oc.
Tam giác OAB cân tại o, suy ra Oi = O2. Tam giác OAC cân tại o, suy ra 03=04.
BOC = 2.50° =100°.
Bài 37. Hựớng dẫn: Hình h) không có trục đối xứng. Các hình còn lại đều có trục đối xứng. Riêng hình a) có hai trục đối xứng, hình g) có 5 trục đối xứng.
Bài 38. Hướng dần
Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy (cũng đồng thời là đường phân giác, đường cao, đường trung trực) là trục đối xứng.
Hỉnh 1.55
Trong hình thang cân đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy là trục đối xứng.
Bài 39. LỜ7' giải
Điểm D, điểm E nằm trên đường trung trực . của AC nên DA = DC;
EA = EC.
Ta có AD + DB = DC + DB = CB (1)
AE + EB = EC + EB > CB	(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD + DB < AE + EB.
Theo câu a ta có AD + DB < AE + EB nên con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là đi từ A đến D rồi từ D đến B.
Nhận xét: Bài toán trên cho ta cách dựng điểm D trên đường thẳng d sao cho tổng các khoảng cách từ A và B đến D là nhỏ nhất. Bạn nên nhớ để vận dụng giải nhiều bài toán thực tế khác.
Bài 40. Hướng dẫn'. Biển báo ở hình c) không có trục đối xứng. Các biển còn lại đều có một trục đối xứng.
Bài 41. Lời giải, a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Giải thíọh: Mỗi đoạn thẳng đều có hai trục đối xứng là chính nó và đường trung trực của nó.
Bài 42. Led giải, a) Các chữ cái in hoa có trục đối xứng:
Chỉ có một trục đối xứng dọc: A, M, T, u, V, Y.
Chỉ có một trục đối xứng ngang: B, c, D, Đ, E, K.
- Có hai trục đối xứng dọc và ngang: H, I, o, X.
b) Gấp tờ giấy làm tư để cắt chữ H vì chữ này có hai trục đối xứng vuông góc.
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và'AC lần lượt lấy các điểm M và N. Vẽ điểm E và điểm F lần lượt đối xứng với M và N qua BC. Hai tia BE và CF cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
AABC = ADBC;
A và D đối xứng với nhau qua BC.
Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Vẽ điểm E đối xứng D qua AB, điểm F đối xứng D qua AC.
Chứng minh rằng E và F đối xứng qua AD.
Xác định số đo của góc BAC để cho ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, các đường phân giác BE và CF cắt nhau tại o. Vẽ điểm M đối xứng với A qua BE, điểm N đối xứng với A qua CF.
Chứng minh rằng M và N nằm trên đường thẳng BC.
Vẽ OD ± BC. Chứng minh rằng OD là trục đối xứng của tam giác OMN.
Cho hình thang cân ABCD, trục đối xứng d. Gọi M là điểm bất kì của d. Chứng minh rằng MA + MD > AC.
Lời giải, hưóng dẫn, đáp số
Hình 1.56
a) BC là đường trung trực của ME nên ABME cân, suy ra Bi = ồ2.
Chứng minh tương tự ta được Ci - Cĩ.
AABC = ADBC (g.c.g) b) Ta có BA = BD; CA = CD (cặp cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
Suy ra BC là đường trung trực của AD, do đó A và D đối xứng qua BC.
a) AB là đường trung trực của DE nên AE = AD.
Vì AC là đường trung trực của DF nên AF = AD, suy ra AE = AF	(1)
A
Ta có DE = 2DH, DF = 2DK mấ DH = DK (vì D nằm trên tia phân giác của góc A) nên DE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của EF. Do đó E và F đối xứng qua AD.
AAFD cân tại A nên A? = A4.
AAED cân tại A nên Ai = A3.
ỄÃÈ = ỂÃD + FAD = 2Â1 + 2Â2 = 2(Â, + Â2) hay ẾÃF = 2BAC .
Do đó E,A,F thẳng hàng EAF = 180° BAC = 90° .
B N
a) BE là đường trung trực của AM nên BA - BM, ABAM cân tại B, nên ABE = EBM .
Mặt khác ABE = EBC (gt)
Nên EBM = EBC, suy ra hai tia BM, BC trùng nhau, do đó ba điểm B, M, c thẳng
hàng	Hình ỉ .58
Chứng minh tương tự ta được ba điểm B, N, c thẳng hàng.
Vậy M và N nằm trẽn đường thẳng BC. b) Ta có OM = ON (vì cùng bàng OA).
Hình 1.59
Vậy AOMN cân tại o. Đường thẳng OD là đường cao ứng với cạnh đáy nên OD là trục đối xứng của AOMN.
ABCD là hình thang cân nên giao điểm o của hai đường chéo phải nằm trên trục đối xứng d của hình thang.
Vì điểm Med nên MD = MC.
Ta có MA + MD = MA + MC > AC (dấu ”
= ” xảy ra khi và chỉ khi M = O).
Nhận xét: Nếu Med thì tổng MA + MD nhỏ
nhất là bằng đường chéo của hình thang cân (khi và chỉ khi M = O).