Giải toán 8 Bài 3. Hình thang cân

§3. Hình thang cân
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
AB//CD
c - D (hay A = B)
ABCD lă hình thang cân
(đáy AB, CD)
Tính chất
Trong hình thang cân:
Hai cạnh bên bằng nhau.
Hai đường chéo bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân	Hình 1.16
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
B.VÍ dụ giải toán
Ví dụ. Cho hình thang cân ABCD (AB là đáy nhỏ). Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng đoạn thẳng DH bằng nửa hiệu hai đáy.
Giải. Cách 1: Vẽ AE//BC(EeCD)
Hình thang ABCE có hai cạnh bên song song nên EC = AB
Do đó DE = CD - EC = CD - AB (1)
E
Hình 1.17
Ta có D = C (hai góc kề đáy của hình thang cân)
AED = c (cặp góc đồng vị của AE // BC).
Do đó D = Ê . Vậy AADE cân tại A.
DE
Mặt khác, AH là đường cao nên DH = HE = -y-	(2)
Từ (1) và (2) suy ra DH =
CD-AB
Hình 1.18
Cách 2'. Vẽ thêm đường cao BK, ta được BK // AH (vì cùng vuông góc với CD). Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên HK = AB. AAHD và ABKC có:
AD = BC (hai cạnh bên)
D = C (hai góc kề đáy)
Do đó AAHD = ABKC (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra DH = CK.
Ta có DH + CK = CD - HK = CD - AB hay 2DH = CD - AB. Vậy DH = CD~AB .
Nhận xét: Hai cách giải ứng với hai cách vẽ hình phụ khác nhau. Một cách là từ một đỉnh của hình thang vẽ đường thẳng song song với cạnh bên. Cách kia là từ một đỉnh vẽ thêm một đường cao. Cả hai cách đều nhằm mục đích là “dời song song” đáy AB chồng lên đáy CD để làm xuất hiện hiệu CD - AB có trong đề bài.
c. Hưởng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 11. Đáp số'. AB = 2cm; CD = 4 cm; AD = BC = VTÕ cm.
Bài 12. Hướng dân'. Chứng minh AADE = ABCF đế suy ra DE - CF. Bài 13. Lời giải. AADC và ABCD có:	.	D
AD = BC (hai cạnh bên)
AC = BD (hai đường chéo) DC chung
Do đó AADC = ABCD (c.c.c).
Suy ra C| = Di, do đó AECD cân. Vậy EC = ED. Mặt khác AC = BD nên EA = EB.
Vậy EF > GH, tứ giác EFGH không là hình thang cân, bạn chỉ còn phải xét tứ giác ABCD.
Ta có AB // CD (vì có cặp góc so le trong bằng nhau, cùng bằng 45°); AC = BD = VĨỸ nên ABCD là hình thang cân.
J §0° - Ẫ
AABC cân tại A => B =
180°-Ã
(2)
Bài 15. Lời giải, a) AADE cân tại A => D, = —— 	 (1)
Từ (1) và (2) suy ra Di = B.
Do đó DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Hình thang DECB có B = C (hai góc ở đáy của tam giác cân) nên là hình thang cân.
A ..180°-Ẫ _^o.
b) Ta có B = c =	-—— = 65
2
BDE = CED = 180°-65° = 115°;
Hình 1.21
Cảnh báo: Bạn dễ dàng chứng minh được BD = CE. Nhưng nếu bạn kết luận rằng hình thang DECB là hình thang cân vì có hai cạnh bên bằng nhau thì sẽ là một sai lầm nghiêm trọng!
Bài 16. Lời giải. Xét AABD và AACE có A chung, AB - AC
Bi = C| (một nửa của hai góc bằng nhau)
Vậy AABD - AACE (g.c.g), suy ra AD = AE.
Do đó DE // BC và tứ giác BCDE là hình thang cân (xem câu a bài 15).
Ta có D| = B? (cặp góc so le trong của DE // BC)
Bi = B2 (gt)
Suy ra D| = Bi, dẫn tới AEBD cân tại E, do đó DE = EB.
Bài 17. Lời giải. Gọi o là giao điểm của AC và BD.	.
Xét AOCD có Ci = Di nên AOCD cân, suy ra oc - OD	(1)
Ta chứng minh được A| = B|.
Do đó OA ■= oc	(2)
Từ (1) và (2) suy ra AC = BD. Hình thang ABCD có hai đường chéo
bằng nhau là hình thang cân.
Bài 18. Lời giải, a) Xét hình thang
ABEC có hai cạnh bên BE và AC song ỵs-ị	Ị7A\
Ta có Di = E (hai góc ở đáy của
■	Hình 1.23
tam giác cân), Cl = E (cặp góc đồng vị của BE // AC). Do đó Di = Cl.
AACD và ABDC có: AC = BD, Cl = Di, DC chung Do đó AACD = ABDC (c.g.c)
Ta có ADC = BCD '(cặp góc tưorng ứng của hai tam giác bằng nhau).
Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.	>
Bài 19. Hướng dẫn. Coi AK là đáy lớn thì hình thang AKDM có DM là đáy nhỏ. Coi DK là đáy nhỏ thì hình thang ADKM có AM là đáy lớn.
D. Bài tập luyện thêm
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), AB = 2cm; BC = 3cm, CD = 5cm. Tính các góc của hình thang cân đó.
Tứ giác ABCD có D = C và AD = BC. Chứng minh rằng tứ giác này là hình thang cân.
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy một điểm o ở bên trong tam giác sao cho OB = oc. Các tia BO và co lần lượt cắt AC và AB tại M và N. Chứng minh rằng:
Tam giác AMN cân;
Tứ giác BCMN là hình thang cân.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Vẽ BH 1 CD và AE 1 BD (H, E 6 CD). Biết HB = HC = HD, chứng minh rằng AD = BE.
A
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
Vẽ BE // AD (h. 1.24). Tam giác BEC đều. Suy ra C = 60° , D = 60° , Â = B = 120° .
AADC = ABCD (c.g.c)
Suy ra AC = BD và Cl = Di,
AOCD cân, suy ra oc = OD.
Suy ra OA = OB,.AAOB cân tại o.
Các AAOB và ACOD cân tại o, có cập góc ở đỉnh bằng nhau nên các góc ở đáy phải bằng
nhau. Suy ra Ai - Cl, do đó AB // CD.	Hinh 125
Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang, cân.
Hình 1.26
a) Tam giác OBC cân nên B| = Ci, AMBC = ANCB (g.c.g)
. Do đó MN // BC.
Suy ra MC = NB do đó AM = AN. Vậy AAMN cân tại A. b) ANM = ẤCB =
Tứ giác BCMN là hình thang. Hình thang này có B
ABC = ACB (vì ABC cân tại A) nên là hình thang cân.
Các ABHC và ABHD vuông cân nên Cl = Di = 45°.
Do đó ABCD vuông cân, suy ra BC = BD và BC ± BD.
Ta có AE 1 BD nên AE // BC Suy ra AE = BC, dẫn tới BD = AE.
Hình thang ABEC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân, do đó AD = BE.