Giải toán 8 Bài 9. Hình chữ nhật

§9. Hình chữ nhật
A. Tóm tắt kiến thức
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. A	3
2. Tính chất
ZT“
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của
hình bình hành, hình thang cân.
□
r
Đặc biệt: Trong hình chữ nhật hai đường
Hình 1.81
chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng B nhau là hình chữ nhật.
Áp dụng vào tam giác AABC: MB = MC,
 = 90° AM = ị BC.
2
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.
Chứng minh rằng HAB = MAC
Vẽ HD ± AB, HE ± AC. Chứng minh rằng DE < BC
Chứng minh rằng DE ± AM.
Giải, a) AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông
nên AM = MB = MC (= BC).
2
AMAC cân nên A2 = c.
góc B).
Suy ra A| = A2.
b) Tứ giác AEHD có A = D = D = 90° nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra DE = AH (tính chất đường chéo).
Ta lại có AH < AM = -ị BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường
xiên). Do đó DE < 4 BC.
2
c) Gọi o là giao điểm của AH và DE; K là giao điểm của AM và DE. Tam giác OAD cân nên A| = D|, do đó Di = A2.
Xét AADE có 5 + Ê = 90°, suy ra + Ê = 90°.
Xét AAKE có + Ê = 90° nên K = 90° do đó DE ± AM.
Nhận xét: Tính chất hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là tính chất đặc trưng của hình chữ nhật. Vì vậy khi vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật thì chúng tạo ra bốn tam giác
Bài 59. Lời giải
Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành. Hình chữ nhật là một hình bình hành. Do đó giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó.
Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trực đối xứng của hình thang cân. Hình chữ nhật là một hình thang cân với đáy là hai cạnh đối của hình chữ nhật. Do đó đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối của hình chữ nhật là trục đối xứng của hình chữ nhật đó.
Bài 60. Hướng dẫn: Trước hết tính cạnh huyền được 25cm. Sau đó tính đường trung tuyến ứng với cạnh huyền được 12,5cm.
Bài 61. Lời giải.	A	E
Tứ giác AECH có IA = IC; IE = IH nên là /
hình bình hành. Hình bình hành này có /
H = 90° nên là hình chữ nhật.	B H	c
Bài 62. Hướng dan: Dùng định lí về tính	Hình J-84
chất đường trung tuyến ứng với một cạnh của tam giác.
Đáp số: a) Đúng;	b) Đúng.
Bài 63. Lời giải. Vẽ BH 1 CD. Tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là
Suy ra X = 12.
Bài 64. Lời giải. Xét EDC có
E-180o-(EDC + ECD) = 180o-^4^ = 180°“^T" = 90°
Tương tự G = 90° ; H = 90° ; F = 90°.
Tứ giác EFGH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Bài 65. Lời giải. Xét AABC có EF là đường trung bình nên EF // AC. Xét AADC có HG là đường trung bình nên HG // AC.
Suy ra EF // HG (vì cùng song song với AC).
D
Hình 1.86
Chứng minh tương tự ta được EH // FG.	B
Do đó theo định nghĩa, tứ giác EFGH là hình bình hành.
Ta có EF // AC mà BD ± AC
nên BD ± EF.
EH // BD mà EF 1 BD nên EF1 EH.
Hình bình hành EFGH có Ê = 90° nên là hình chữ nhật.
Nhận xét: Nếu bạn vận dụng kết quả của bài 48 thì bạn có ngay tứ giác EFGH là hình bình hành, chỉ còn phải chứng minh Ê = 90° .
Bài 66. Lời giải. Tứ giác BEDC có BC // DE (cùng vuông góc với CD), BC = DE nên là hình bình hành.
Hình bình hành này có c = 90° nên là hình chữ nhật.
Suy ra CBE = 90°, DEB = 90°. Do đó AB và EF cùng nằm trên đường thẳng BE.
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm củà BC. Vẽ hình bình hành ABMD. Chứng minh rằng tứ giác ADCM là hình chữ nhật.
Cho hình chữ nhật ABCD, AD = y AC. Hai đường chéo cắt nhau tại
o. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Hai tia DM và CN cắt nhau tại E. Chứng minh rằng tam giầc EDC là tam giác đều.
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AH ± BD. Biết HD = lcm, HB - 4cm. Chứng minh rằng AD = AB.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD - AB. Trên tia HC lấy điểm E sao cho HE = AH. Chứng minh rằng tia EA là tia phân giác của góc BED.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB và ẠC lần lượt tại D và E. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của DE, BC, BE và CD. Chứng minh rằng:
Ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Tứ giác MKNI lẩ hình chữ nhật.
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
Vì ABMD là hình bình hành nênAD // BM và AD = BM, do đó AD // MC và AD = MC. Vậy tứ giác ADCM là hình bình hành.
Hình bình hành này có hai đường chéo bằng nhau là MD - AC (cùng bằng AB) nên nó là hình chữ nhật.
Cách khác. Bạn có thể chứng minh AM ± BC (tính chất của tam giác cân) suy ra hình bình hành ADCM có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
Vì o là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật nên OA = OB = oc = OD.
60c
Mặt khác AD - AC nên AAOD là tam giác đều, suy ra ẠOD
Xét tam giác đều AOD có DM là đường trung tuyến nên
Suy ra OH = l,5cm.
Xét AAOH vuông tại H, có:
AH2 = OA2 - OH2 = (2,5)2 - (1,5)2 = 4 Suy ra AH = 2cm.
Xét AADH vuông tại H, có:
AD2 = AH2 + DH2 = 22 + l2 = 5.
Xét AABH vuông tại H, có:
AB2 = AH2 + HB2 = 22 + 42 = 20.
AD2 5 Do đó ——r = -7—
AB2 20
4. Vẽ DK 1 AH.
AABH = ADAK
1
= ị, suy ra
AD
AB
Ị
2
(cạnh huyền, góc
nhọn)
Suy ra AH = DK, mà AH = HE nên DK = HE.
Ta có DK // EH (cùng vuông góc với AH).
Do đó tứ giác KDEH là hình bình
Hình 1.90
hành. Hình bình hành này có H = 90° nên nó là hình chữ nhật, suy ra Ễ = 90°.
Tam giác HAE vuông cân, nên êi = 45° , do đó Ê2 = 45° .
Suy ra tia EA là tia phân giác của góc BED.
a) AM và AN lần lượt là đường trung tuyến của hai tam giác vuông AADE và AABC nên:
AM = DM = ị DE; AN = BN = ị BC.
2 2
AMAD cân nên DAM = ADM .
ANAD cân nên BAN = ABN.
Ta có ADM = ABN (đồng vị của DE // BC) nên DAM = BAN .
Suy ra hai tia AM và AN trùng nhau, dẫn tới A, M, N thẳng hàng, b) Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được MI // NK (cùng song song với AB).
MK // NI (cùng song song với AC).
Tứ giác MKNI là hình bình hành.
Ta có N, =ACB, N2 = ABC nên Ni + N2 = ACB + ABC = 90°.
Do đó INK = 90°.
Hình bình hành MKNI có một góc 90° nên nó là hình chữ nhật.
Nhận xét: Nếu DE không song song với BC thì tứ giác MKNI vẫn luôn là hình chữ nhật.