Giải toán 8 Bài 5. Diện tích hình thoi

§5. Diện tích hình thoỉ
Cho hình thoi ABCD có A = 60°, BD = 4cm. Tính diện tích của hình
Ví dụ.
Giải.
thoi ABCD.
Ta có AB = AD và BAD = 60° nên AABD đều, do đó AB = AD = BD = 4 (cm).
Gọi o là giao điểm của AC và BD thì AC1BD (tại O).
Ta có OA = oc,
OB = OD = 4:2 = 2 (cm).
Xét AAOB vuông tại o, ta có:
_ , 2	.	9	2	.2
OA = AB - OB = 4 - 2 = 12,
suy ra OA = y/12 (cm)
Hình 2.35
Diện tích hình thoi ABCD là: s = I AC.BD = OA.BD = VĨ2.4 = 4VĨ2 (cm2).
Nhận xét: Trong lời giải trên, để tính diện tích hình thoi ta lấy nửa tích của hai đường chéo. Ta cũng có thể tính diện tích hình thoi bằng công thức tính diện tích hình bình hành: s = a.h, trong đó a = 4cm và h = VẼ2 cm ta cũng có đáp số 4 VĨ2 cm2.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 32. Hướng dẫn .
Có thế vẽ được vô số tứ giác như vậy. s = 10,8cm .
Hình vuông là hình thoi có hai đường chéo băng nhau nên s - d .
Hình 2.36
thẳng song song với AC, ta được hình chữ nhạt AMNC có diện tích bằng diện tích của hình thoi cho trước.
Bài 34. LỜ7' gidi.Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD. Tứ giác EFGH là hình bình hành (xem bài 48 SGK).
AAEH = ABEF (c.g.c)
Suy ra EH = EF. Hình bình hành EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên
A	E	B
D	G	c
Hình 2.37
Bài 33. Hướng dẫn. Từ đỉnh A, đỉnh c vẽ các đường thẳng song song với BD, từ đỉnh B vẽ đường là hình thoi.
SEFGH = sabfh( = 2sehf) = — SABCD = — AB.AD = — HF.EG
Như vậy diện tích hình thoi đúng bằng nửa tích hai đường chéo.
Bài 35. Lời giải.
Tam giác ABD có AB = AD và A = 60° nên là tam giác đều, suy ra BD = 6cm.
AO là đường cao của tam giác đểu nên OA2 = AB2 - OB2 = 62 - 32 = 27
Suy ra OA = V27 (cm)
Diện tích hình thoi ABCD là:
B
D
Hình 2.38
s = ịAC.BD = OA.BD = V27.6 = 6V27 (cm2)
2
Nhận xét'. Bạn có thể tính diện tích hình thoi này theo công thức s = a.h, trong đó a - 6cm và h = V27 cm. Diện tích hình thoi là s = 6^27 (cm2).
Bài 36. Lời giải. Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông EFGH có cùng chu vi là 4a. Suy ra cạnh của hình thoi và hình vuông là a
Hình 2.39
’efgh = a2. Vẽ BBLLAD. Đặt BH = h, SABCD
Nhưng h < a (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên), nên ah < a2, tức là SABCD < SEFGH (dấu “=” xảy ra khi hình thoi là hình vuông).
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB - 3cm; AC = 5cm. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC. Vẽ điểm F đối xứng với E qua D.
Chứng minh tứ giác AEBF là hình thoi.
Tính diện tích hình thoi AEBF.
Hình thoi ABCD có diện tích 96cm2 và tổng hai đường chéo bằng 28cm. Tính chiểu cao của hình thoi này.
Hình thang ABCD (AB//CD) có BD±BC và AB = 4cm, BD = 5cm, BC = 12cm. Trên đáy CD lấy điểm M sao cho DM = 9cm. Tính diện tích tứ giác ABMD.
Lời giải, hướng dẫn, đáp sô
Hình 2.41
—.5.3 = 7,5 (cm2). 2
a) Tứ giác AEBF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm cùa mỗi đường nên là F hình bình hành. Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi, b) SAEBị =|eF.AB =
B
D
Hình 2.42
Gọi o là giao điểm của hai đường chéo. Ta đặt OA = X, OB = y thì X + y = 14 (cm). Diện tích hình thoi là:
ị.2x.2y = 96
2
=> 2xy = 96 (cm2)
Vì (x + y) = 14 nên (x + y)“ = 196
2 „ 2 ,2 2 => x“ + 2xy + y = 196 => x“ + y- = 196 - 96 => X2 + y2 = 100.
Ta có AB2 = X2 + y2 = 100 => AB = 10 (cm).
96
10
9,6 (cm).
Hình 2.43
Z	1 X	1	kJ
Ap dụng công thức s = a.h => h = — a
Tam giác BDC vuông tại B nên CD = BD2 + BC2= 169 => CD -- 13 (cm)
Mặt khác DM = 9cm nên MC - 4cm.
s = ị AM.BD = ị . 12.5 = 30 (cm2). 2 2
Tứ giác ABCM có AB // MC và AB = MC nên là hình bình hành, suy ra AM = BC = 12cm; AM // BC, dẫn tới AM ± BD.
Diện tích tứ giác ABMD là: