Giải toán 8 Bài 10. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

§10 . Đường thẳng song song
với một đường thẳng cho trước.
A. Tóm tắt kiến thức
X
□
h
y
h
Hình 1.92
a
A/
b
B/
c
c/
d
Hình 1.93
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Tính chất của các điểm cách đều một đường thảng cho trước Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định một khoảng h không đổi, là hai đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thảng đó một khoảng bằng h.
Đường thảng song song cách đều
Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Nếu các đường thẳng song song cách đều
cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho điểm A nằm ngoài đường thảng xy và có khoảng cách đến xy là 2cm. Lấy điểm B bất kì trên xy. Gọi M là trung điểm của AB.
Tính khoảng cách từ M đến xy.
Khi điểm B di động trên đường thẳng xy thì điểm M di động trên đường nào?
Giải, a) Vẽ AH ± xy và MK1 xy ta được MK // AH và KB = KH.
Xét BAH có MK là đường trung
bình nên MK =	= 4 = 1 (cm).
2 2
b) Điểm M cách xy 'cho trước là lcm nên điểm M di động trên đường thẳng a // xy và cách xy là
lcm.	Hình 1.94
Nhận xét: Một cách tổng quát, trung điểm M của AB di động trên một đường thẳng a // xy và cách xy một khoảng bằng nửa khoảng cách từ A đến xy.
Bạn nên nhớ kết quả này để vân dụng giải một số bài toán khác.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 67. Lời giải. Ta có các đường thẳng CC' // DD' // EB.
Vì AC = CD = DE nên các đường thẳng đó là những đường thẳng song song cách đều, suy ra AC' = C'D' = D'B.
Nhận xét: Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra cách chia một đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau.
Hình 1.95
Bài 68. Lời giải. Vẽ AH 1 d; CK1 d AAHB = ACKB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra CK = AH = 2cm.
Điểm c cách đường thẳng d cố định một khoảng không đổi là 2cm nên c di chuyển trên đường thẳng a // d và cách d là 2cm.
Bài 69. Hướng dẫn. Ghép (1) với (7); ghép (2) với (5); ghép (3) với (8); ghép (4) với (6).
Bài 70. Lời giải. Vẽ CH ± Ox thì CH // OA và HB = HO.
CH là đường trung bình của AAOBnên CH = — OA = lcm.
Hình 1.96
2
Điểm c cách đường thẳng Ox một khoảng không đổi là lcm nên - c di chuyển trên đường thẳng m // Ox và cách Ox là lcm.
Chú ý: Vì điểm B chỉ di động trên tia Ox nên điểm c chỉ di động trên tia Dm.
Bài 71. Lời giải
Tứ giác AEMD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Điểm o là trung điểm của DE nên o cũng là
d/
|Xq
□
1 AZ x
trung điểm của AM. Do đó ba điểm A, o, M thẳng hàng.
Vẽ AH 1 BC; OK ± BC.
un ưng minn auoc UK = — Ail ^Knong B	H K M c
Hình 1.97
đổi).
Điểm o cách đường thẳng BC cho trước một khoảng không đổi là AH nên điểm o di chuyển trên một đường thẳng song song với BC và
cách BC một khoảng AH.
Chú ỷ'. Vì điểm M di chuyển trên cạnh BC nên điểm o chỉ di chuyển trên đường trung bình PQ của AABC.
c) Ta có AM > AH (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
Suy ra nếu M ở vị trí H thì AM có độ dài nhỏ nhất.
Bài 72. Trả lời: Điểm c cách mép gỗ AB một khoảng là 10cm nên đầu bút chì c vạch nên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 10cm.
D. Bài tập luyện thêm
Cho hình thang ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho DM = DE và CN = CF.
Hỏi các đường thẳng AB, EF, CD và MN có phải là các đường thẳng song song cách đều không?
Cho AB = 4, CD = 6, tính MN.
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy và có khoảng cách đến xy là 3cm. lấy điểm B trên xy. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho BM
= 7AB.
3
Tính khoảng cách từ M đến xy.
Khi điểm B di động trên xy thì điểm M di động trên đường nào?
Cho tam giác ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Vẽ ME // AB, MD // AC (EeAC, DeAB). Gọi o là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng o là trung điểm của AM.
Điểm o di động trên đường nào?
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
a) EF là đường trung bình của hình thang ABCD nên EF // CD. Giả sử MN và CD không song song. Qua M vẽ MN' // CD (N' thuộc tia BC). Ba đường thẳng EF, CD và MN' song song cách đều nên CN' = CF.
Mặt khác CN = CF (gt) nên CN' = CN,
dođÓN=N.	Hình 1.98
Vậy AB // EF // DC // MN và AE = ED = DM nên các đường thẳng
trên là những đường thẳng song song cách đều.
, cc_AB + CD_4 + 6_.	EF + MN
b) Ta co EF 	= —— = 5 ; CD -	—	.
2 2 2
Thay số ta có:
5 + MN
=>MN = 7.
a) Gọi N là trung điểm của AM.
Ta có: AN = NM = MB (= ị AB).
3
Vẽ AH ± xy; MK 1 xy. Ta sẽ chứng minh MK = y AH.
Thực vậỹ, vẽ MD ± AH, NE ± AH ta được NE // MD // xy.
Mặt khác AN = NM = MB, suy
AH
ra AE = ED = DH = —= lcm.
3
Do đó MK = lcm.
Hình 1.100
b) Điểm M cách xy cho trước một khoảng không đổi là lcm nên điểm M di động trên đường thẳng a // xy và cách đều xy là lcm.
a) Vận dụng tính chất đường chéo của hình bình hành, b) Giải tương tự bài 71, M di động trên đường trung bình PQ của AABC.