Giải toán 8 Bài 4. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

§4. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Tóm tắt kiến thức
Muốn tìm mẫu thức chung của các phân thức ta làm như sau:
Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.
Mẫu thức chung cần tìm là một tích của các nhân tử được chọn như sau:
Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở mẫu thức chung là BCNN của chúng):
Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Muôn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thê làm như sau:
Phân tích các mẫu thức của các phân thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Quy đổng mẫu thức các phân thức sau:
3	~5 .	ht 1	3y x + 2
4xV’ 18xV	J 20xV’ 25x3’ 4y3 '
Giải, a) Mẫu thức chung (MTC) 36x4y5
3	_	3.9y2	27y2
-5
-5.2x
-lOx
4x4y3	4x4y3.9y2	36x4y5 ’
18x3y5
18x3y5.2x
= 36xV;
b) MTC: 100x5y3
1	_ L5y _ 5y
. 3y
3y.4x2y3
 12x2y4
20x5y2	20x5y2.5y - 100x5y3
’ 25x3
~ 25x3.4x2y3
100x5y3
X + 2 _ (x + 2).25x5 _ 25(x + 2)x5
4/
4y3.25x3
100x5y3
Ví dụ 2.
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: x-3	X—1
a)
5x -10x
X2 -4
, 5-x; b)
X2 +2xy + y2
x-2	2x+3
X3 + y3
Giải.
a) MTC: 5x(x-2)(x + 2) x-3	(x-3)(x + 2)
x-6
5x2-10x	(5x2-10x)(x + 2)	5x3-20x
X —1	(x-l).5x _ 5x2-5x
x2-4	(x2-4).5x	5x2-20x
5-x =
(5-x)(5x2 -20x)
5x2 -20x
b) MTC: (x + y)2(x2-xy+'y2)
1	l.(x2-xy + y2)
-Sx3+45x2-lQOx
5x2 -20x
X - xy + y
X2 +2xy + y2
(x + y)2.(x2-xy + y2) (x + y)2(x2-xy + y2)
X -2
(x-2)(x + y)
X2 +xy-2x -2y
x3 + y3 (x3 + y3)(x + y) (x + y)2(x2-xy + y2)
2x + 3 _ (2x + 3)(x + y)(x2-xy + y2) _ 2x4+3x3+2xy3+3y3
(x+ y)2(x2-xy + y2)
(x + y)(x + y)(x2-xy +y2)
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
5..4
x5y3 x5y3.12y	12x5y4 ’
b) MTC: 60x4y5.
Bài 14. Lời giải, a) MTC: 12x5y 5.12y _ 60y
_7	 7.X2	_ 7x2
12x3y4 ~ 12x3y4.x2 - 12x5y4 :
,3
4~? •
_4	 5.4x	_	20x	11	_	11.5y3	_ 55y3
15x3y5	15x3y5.4x	60x4y5 ’	12x4y2	12x4y2.5y3	60x4y
Bài 15. Lời giải, a) MTC: 2(x + 3) (x - 3) 5	_ 5(x-3)	3
2x + 6_2(x2-9)
x2-9	2(x2-9)
2x
2x.3x
6x2
x2 -8x + 16	3x(x-4)2	3x(x-4)2 ’
X	x.(x-4)	_ x(x-4)
3x2 -12x _ 3x(x-4)(x-4) ” 3x(x-4)2 ’
Bài 16. Lời giải, a) MTC: X3 -1 = (x - l)(x2 + X +1).
l-2x _ (l-2x)(x-l) _-2x2+3x-l
X +X + 1
x3-l
x3-l
-2 = -
-2(x3 -1) _-2x3 +2
x3-l
XJ-1
b) Ta có 2x-4 = 2(x-2); 6-3x = -3(x-2) nên MTC: -6(x - 2)(x + 2) = 24 -6x2 .
x + 2	-6(x + 2)(x-2)
24 -6x2
5	_ 5.[-3(x + 2)]
-15X-30
2x-4	-6(x + 2)(x-2) =
' 24-6x2
1	10.[2(x + 2)]
2ŨX + 40
6 - 3x -6(x + 2)(x - 2)	24 - 6x2 ’
Bài 17. Lời giải. Cả hai bạn đều đúng. Bạn Tuấn đã tìm MTC theo nhận xét trong SGK; tức là nhận cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ. Còn bạn Lan thì lại rút gọn các phân thức; tức là đã chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho cùng một đa thức khác 0 nào đó. Cụ thể Lan làm như sau:
5x"
5x"
6x2	x2(x-6)	x-6
3x2+18x_ 3x(x + 6)	_ 3x
■ 36	(x-6)(x + 6)	x-6
Bài 18. Lời giải, a) MTC: 2(x2 -4)
b) X2-8x +16 = (x-4)2 ; 3x2-12x =3x(x-4) nên MTC:3x(x-4)2
3x _ 3x.(x-2) _ 3x2-6x 2x + 4 “ 2(x2-4) _ 2x2-8
b) MTC: 3(x2 +4x + 4) x + 5	(x + 5).3
x2+4x + 4	3(x2+4x + 4)	3x2+12x + 12’
X _ x.(x + 2)	_	x2+2x
3x + 6 _3(x2+4x + 4) - 3x2+ 12x4-12 '
Bài 19. Lời giải, a) MTC: x(4- X2)
x + 3 _ (x + 3).2 _ 2x + 6 X2-4 - 2(x2.-4) - 2x2-8
3x + 15
8
2x-x2
X4
x2-l'
8(2 + x) _ 16 + 8x x(4-x2)	x(4-x2)
1	_ x(2-x) _ 2x-x2
x + 2 - x(4-x2) - x(4-x2) ’
b) MTC: X2—1.
, ,	(x2+l)(x2-l) x4-l
x2-l "x2-l
MTC: y(x-y)3
__3	_.3_.
X	X	_ X y
X3 -3x2y + 3xy2 -y3	(x-y)3	ỳ(x-y)3
X _ -X _-x(x-y)2 _-X3+2x2y-xy2 y2-xy y(x-y) y(x-y)3	y(x-y)3
{	o	9	
Bài 20. Lời giải. Để chọn X + 5x - 4x - 20 làm MTC chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
Vì X3 + 5x2 - 4x - 20 = (x2 + 3x - l)(x + 2) = (x2 + 7x + 10)(x - 2)
nên MTC: X3 + 5x2 - 4x - 20
1	_ l.(x + 2)	_ x + 2
x2+3x-10	(x2 +3x-10)(x + 2)	x3+5x2-4x-20
X _	x.(x-2)	_	x2-2x
x2+7x + 10	(x2 +7x + 10)(x-2) x3 + 5x2-4x-20
D. Bài tập luyện thêm
1. Các phân thức
2	X -3	„	1 - X
X -3
chung là:
(A) x3-8y3;
(C) x-2y;
2. Quy đồng mẫu thức các phân thức
—5	~ và ——7— có mẫu thức
x2+2xy + 4y2 X -8yJ x-2y
(B) x2+2xy + 4y2;
(D) (x-3)(x2 + 2xy + 4y2).
3. Quy đồng mẫu thức các phân thức
X3-3x2y + 3xy2-y3	x2-y2'
,	3x-2	x + 1
x2+3x-4’ x2+4x-5
và
X +9x -10
Lời giải, hưóng dẫn, đáp số
Chọn (A).
Ta có: X3 -3x2y + 3xy2 -y3 = (x -y)3; X2 -y2 = (x - y)(x + y) MTC : (x - y)3(x + y)
2	_	2.(x + y)	2x + 2y
X3 -3x2y + 3xy2 -y3	(x-y)3(x + y) - (x-y)3(x + y)
y -	y-(x-y)2	x2y-2xy2+y3
X2 - y2 (x - y)(x + y).(x - y)2 (x - y)3 (x + y)
X2 + 3x - 4 = (x - l)(x + 4); X2 + 4x - 5 = (x - l)(x + 5);
X2 + 9x - 10 = (x - l)(x + 10)
nên MTC : (x - l)(x + 4)(x + 5)(x + 10)
3x-2	(3x-2)(x + 5)(x + 10)	_ 3x3 + 43x2 + 120x -100
X2 +3x -4
’ (x-l)(x + 4)(x + 5)(x + 10)
’ (x-l)(x + 4)(x + 5)(x + 10)
x + 1
(x + l)(x + 4)(x + 10)
X3 +15x2 +54X + 40
X2 +4x -5
’ (x-l)(x+ 4)(x+ 5)(x +10)
’ (x - l)(x + 4)(x + 5)(x +10) ’
X
x(x + 4)(x + 5)
X3 +9x2 +20x
x2+9x-10	(x-1)(x + 4)(x + 5)(x + 10) (x-l)(x + 4)(x + 5)(x +10)