Giải toán 8 Bài 12. Hình vuông

§12. Hình vuông
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
ABrnuunU	/a = B = C = D = 90°
Tứ giác ABCD là hình vuông o 4
AB = BC = CD = DA.
Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Dâu hiệu nhận biết
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho BE - DF. Gọi M là trung điểm của EF. Vẽ điểm G đối xứng với A qua M. Chứng minh rằng:
Tứ giác AEGF là hình vuông;
Ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Giải, a) Tứ giác AEGF có: ME - MF; MG = MA nên nó là hình bình hành.
AABE = AADF (c.g.c), suy ra AE = AF và Ai.= A2.
Ta có Â2 + DAE = Â| + DAE , do đó ỂÃẼ = BAD = 90°
Hình bình hành AEGF có một góc vuông nên là hình chữ nhật. Hình chữ nhật này có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.
Ta có MA = ịEF;MC = ịEF,
2 2
đo đó MA = MC (1)
Mặt khác BA = BC (2)
DA = DC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm M, B, D thẳng hàng vì cùng nằm trên đường trung trực của AC.
Nhận xét: Trong lời giải trên, để chứng
minh một tứ giác Ịà hình vuông ta chứng minh tứ giác đó là hình bình hành, rồi hình chữ nhật, cuối cùng là hình vuông.
Ta cũng có thể đi theo con đường khác: Trước hết chứng minh tứ giác là hình bình hành rồi hình thoi, cuối cùng là hình vuông.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 79. Hướng dẫn: Vận dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông cân.
Đáp số: a) VĨ8 cm; b) V2 dm.
Bài 80. Lời giải. Tâm đối xứng của hình vuông là giao điểm hai đường chéo của nó (vì hình vuông là hình bình hành).
Trục đối xứng của hình vuông gồm:
Hai đường chéo của nó (vì hình vuông là hình thoi).
Hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cặp cạnh đối (vì hình vuông là hình chữ nhật).
Tõm lại, hình vuông có một tâm đối xứng và bốn trục đối xứng.
Bài 81. Lời giải. Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Hình chữ nhật này có đường chéo AD là đường phân giác của góc A nên là hình vuông.
Bài 82. Lờ? giải. Bốn tam giác vuông AEH, BFE, CGF, DHG bằng nhau (c.g.c), suy ra HE = EF = FG = GH và AEH = BFE Ta có ẤẼH + BEF = BFE + BEF = 90° ,
suy ra HEF = 180°- 90° = 90°,
Tứ giác EFGH có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Hình thoi này có E = 90° nên là hình vuông.
Bài 83. Trả lời: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai; e) Đúng.
Bài 84. Lời giải, a) Tứ giác AEDF có DE // AB; DF // AC nên nó là hình bình hành.
Hình bình hành AEDF là hình thoi, suy
ra A| = Aỉ và D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC.
Nếu AABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF là hình chữ nhật.
Nếu AABC vuông tại A và điểm D là giao
điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì hình bình hành AEDF là
hình vuông.
Bài 85. Lời giải, a) Ta có AE // DF và AE =
DF (cùng bằng — AB) nên tứ giác ADFE là
hình bình hành. Hình bình hành này có A = 90° nên là hình chữ nhật.
Mặt khác AD = AE (cùng bằng ^-AB) nên
hình chữ nhật AEFD là hình vuông.
Tứ giác EBFD có EB = DF, EB // DF nên là hình bình hành, suy ra
DE // BF.
Chứng minh tương tự ta được AF // EC. Do đó tứ giác MENF là hình bình hành.
Ta có ME - MF và ME ± MF (tính chất đường chéo hình vuông).
Hình bình hành MENF có ME = MF nên là hình thoi, lại có M - 90° nên là hình vuông.
Bài 86. Lời giải. Tứ giác nhân được là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau (cùng bằng AB).
Nếu có thêm OA = OB thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.
D. Bài tập luyện thêm
Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác đều ABM vào trong hình vuông và tam giác đều BCN ra ngoài hình vuông. Chứng minh rằng ba điểm D, M, N thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại o. Qua ọ vẽ đường thẳng d bất kì. Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên d. Chứng minh rằng tổng AA' + BB' không đổi.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = CN < ^. Vẽ MQ 1 BC; NP i BC (Q e AB, p e AC).
Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Xác định vị trí của M và N để MNPQ là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo AC. Vẽ ME 1 AD và MF 1 CD.
Chứng minh rằng tổng ME + MF không đổi khi M di động trên đường chéo AC.
Chứng minh rằng BE = AF và BE ± AF.
Điểm M ở vị trí nào trên AC thì tứ giác MEDF là hình vuông.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH bằng cạnh đáy BC. Vẽ HD 1 AC; BE 1 HD và AF 1 BE. Chứng minh rằng tứ giác ADEF là hình vuông.
Hình 1.114
+ 45° =180°, suy ra ba điểm D, M,
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
AABM đều, suy ra A| = 60° đó Ấ2 =30°.
AADM cân tại A, A2 = 30° Ml =75°.
ABMN vuông cân nên M3 = 45°
Do đó M1+M2+M3 =75°+60' N thẳng hàng.
Hình 1.115
Ta có OA = OB và OA ± OB (tính chất đường chéo hình vuông)
Ai = Ôi (cùng phụ với O2).
AAA'O = AOB'B (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra AA' = OB'.
Xét AOB'B vuông tại B, ta có:
OB'2 + BB'2 = OB2hay AA'2 + BB'2 = OB2(khồng đổi).
a) AQBM = APCN (g.c.g), suy ra QM = PN.
Hình 1.116
Mặt khác QM // PN (cùng vuông góc với BC).
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình
hành. Hình bình hành này có M = 90° nên là hình chữ nhật.
b) AQBM có M = 90° , B = 45° nên
là tam giác vuông cân, suy ra MB = MQ.
Hình chữ nhật MNPQ là hình vuông khi MQ = MN
 BM = MN = NC BM = CN = 4 BC.
a) Tứ giác DEMF là hình chữ nhật nên ME = DF.
Tam giác MFC vuông cân tại F nên MF = FC.
Do đó ME + MF = DF + FC= DC (không đổi)
b) Giả sử AC cắt BD tại o, AC cắt BE tại 0'.
Tam giác AEM vuông cân nên AE = EM - DF,
AABE = ADAF (c.g.c), suy ra BE = AF và A	. B
Ê, = F,.
Xét AADF vuông tại F có A| + Êi = 90° ,
do đó Ai + Êi = 90° , suy ra o' = 90° , tức là E BE 1 AF.
Hình chữ nhật MEDF là hình vuông khi
ME = MF M trùng với giao điểm o của	Hinh 1117
hai đường chéo AC và BD.
Hình 1.118
Tứ giác ADEF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Gọi M là trung điểm của AH.
Từ (1), (2), (3) suy ra AD = DE, do đó hình chữ nhật ADEF là hình vuông.
Nhận xét: Bài toán trên cho ta cách dựng hình vuông ADEF biết đỉnh A và trung điểm H của cạnh hình vuông không chứa A.