Giải toán 8 Bài 1. Phân thức đại số

§1. Phân thức đại số
A. Tóm tắt kiến thức
Một phân thức đại số (nói gọn là phân thức) là một biểu thức có
Ạ
dạng -ỴỤ , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
B
A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
A	c
Hai phân thức — và — gọi là bằng nhau nếu A.D - B.c.
B	D
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng minh các đẳng thức sau:
7x(x-l) 1	x3-l (x2 + X + l)(x2-3x + 2)
21x2(x-1) 3x	x3+1 (x2-x + 1)(x2-x-2)
Giải, a) Ta có 7x(x - l).3x = 21x2(x-1) = 21x2(x-l).l
v»y	--L.
21x2(x-1) 3x
b) Ta có (X3 - l)(x2 - X + l)(x2 - X - 2)
= (x - l)(x2 + X + l)(x2 - X + l)(x + l)(x - 2)
= |jx + l)(x2 — x + l)J(x2 +x + l)[(x-l)(x-2)]
= (X3 +l)(x2 + X +.l)(x2 -3x + 2)
Vây x3"1 - (x2+x + 1)(x2 -3x + 2) X3 +1	(x2-x + l)(x2-x-2)
Ví dụ 2. Tìm đa thức A thoả mãn:
A 5x3-10x2
a)
X2 -4
X + 2
Giải, a) Theo định nghĩa A 5x3-10x2
b)
4x +5x-9 4x + 9
2x + 3
X2 -4
« A.(x2-4) = (x + 2).(5x3 - 10x2)
 A.(x -2)(x + 2) = (x + 2).5x2(x -2) A - 5x2;
4x2+5x — ọ 4x 4- 9	n
	=	—ặ o (4x2+5x-9)(2x+ 3) = A.(4x+ 9)
A	2x + 3
 (x - l)(4x + 9)(2x + 3) = A.(4x + 9)
 A = (x -l)(2x + 3) A = 2x2 + X - 3 .
Ví dụ 3. Tim giá trị nguyên dương của X để phân thức ——— nhận giá trị nguyên.
x-3
Giải. Phân thức
X -3
nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi X - 3 là ước của 4.
Do đó x-3e{-4;-2;-l; 1; 2; 4}=>xe{-l; 1; 2; 4; 5; 7}.
Vì X nguyên dương nên X e {l; 2; 4; 5; 7}.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 1. Lời giải, a) Ta có: (5y).(28x) = 140xy và 7.(20xy) = 140xy
do đó (5y).(28x) = 7.(20xy) nên =
7	28x
b) 3x(x + 5).2 = 6x2 +30x = 2(x + 5).3x
. 3x(x + 5) 3x do đó —r — = —;
2(x + 5)	2
(x + 2)(x2 -1) = (x - l)(x + 2)(x +1)
, x + 2 (x + 2)(x + l) do do	- =	;
x-1	X2—1
(X2 - X - 2).(x -1) = X3 - X2 - X2 + X - 2x + 2 = X3 - 2x2 - X + 2
(x + l).(x2 -3x + 2) = X3 -3x2 + 2x + X2 -3x + 2 = X3 - 2x2 - X + 2
nên (x2 -x-2).(x-l) = (x + l).(x2 -3x + 2)
,	x2-x-2	x2-3x + 2
nên —	= X + 2 .
X-2X+4
Bài 2. Lời giải, (x2 -2x -3).x = X3 -2x2 -3x (x2 + x).(x -3) = X3 -3x2 +x2 -3x = X3 -2x2 -3x
do đó (x2 -2x-3).x = (x2 +x).(x-3) nên ———— = —— x2+x	X
X — 3 X2 — 4x + 3 Tưong tự, ta chứng minh được ——- =	T-	
X	X -X
Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau.
Bài 3. Lời giải. Ta có ...(x - 4) = x(x2 - 16) = x(x + 4)(x - 4).
Vậy phải điền vào chõ trống đa thức x(x + 4) hay x“ + 4x.
D. Bài tập luyện thêm
Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng minh các đẳng thức sau:
.	x2-2x	1	x4-16	x + 2
a) —T2	-	= ——;	b)	— —-——T = —^7 •
(x2-9x)(x-2)	x-9	(x2 + 4)(x-2)2	x-2
Tim giá trị nguyên của X để phân thức ——— nhận giá trị nguyên.
—X — 1
Ba phân thức sau có bằng nhau không?
x2-4x + 3	x-1	X2-!
x2-9	’ x + 3’ x2-2x-3
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
a) (x2-2x)(x-9) = x(x-2)(x-9)
= [x(x -9)](x - 2) = (x2 -9x)(x - 2)
=> (x2 - 2x)(x -9) = (x2 - 9x)(x - 2) => '■ , *2 - 2x - ■ = -ỉ—.
(x2-9x)(x-2)	x-9
b) (x4 -16)(x - 2) = (x2 + 4)(x2 - 4)(x - 2)'
= (x2 + 4)(x - 2)(x + 2)(x - 2) = (x2 + 4)(x - 2)2 (x + 2)
=>(X 4 -16)(x - 2) = (X2 + 4)(x - 2)2(x + 2)
x4-16 x + 2 => —-3	—	—7 =	~ •
(x2+4)(x-2)2	x-2
Phân thức ——- nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi X + 1 là ước
-X -1
của 5. Do đó X+1 e {—5; -1; 1; 5} => X e {-6; -2; 0; 4}
1 3. (x2-4x + 3)(x + 3)=’(x-l)(x-3)(x + 3)
= (x-l)(x2-9) = (x2-9)(x-1)
.2 A . -,xz . -X z 2	«... ,x x2-4x + 3	x-1
=> (x -4x + 3)(x + 3) = (x -9)(x-l)=>	——	= ——
x-9	x+3
„	X x-l X2 -1
Tương tự ta có ——- = —-	-—.
x + 3	x2-2x-3
Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau.