Giải toán 8 Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

  • Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức trang 1
  • Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức trang 2
  • Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức trang 3
  • Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức trang 4
  • Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức trang 5
  • Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức trang 6
§9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ.
Giá trị của phân thức.
Tóm tắt kiến thức
Biểu thức hữu tỉ Ịà biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số.
Nhờ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.
Điều kiện để giá trị của phân thức được xác định là điều kiện để giá trị của mẫu thức khác 0.
Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:
a)
3x + y	3x-y
x2-4xy x2+4xy
16y2 -X2 3x +4y2 '
b)
A 3x2y-x3
y2;
„2 ,2 X -y
Giải, a)
ỵX -2xy + y	X
3x + y + 3x-y kx2-4xy x2+4xyy (3x + y)(x + 4y) + (3x - y)(x - 4y) (4y - x)(4y + x)
16y2-x2 3x +4y2
x(x + 4y)(x -4y)	3x2+4y2
3x2 +12xy + xy + 4y2 +3x2 -12xy-xy + 4y2
x(3x2+4y2)
b)
6x2+8y2
x(3x2+4y2)
/
1
x2-2xy + y2
\3x2y-x3
,2 2 X -y y
..2 2 X -y
Ví dụ 2.
Giải
;(x-y)2	x2-y2
3y-x
(x-y)x2(3y-x)	x2(x-y)
< 2x	5
Cho biểu-thức: A = ————	———
<2x2-5x + 3	2x-3
Rút gọn A;
Tim X để A nhân giá trị nguyên;
Tìm X để A = ■
a) Điều kiện
6-x
x2-y2 _x + y-2(x-y) (x-y)(x + y) 3x2y-x3	(x-y)2(x + y) x2(3y-x)
1
2x -5x + 3 0 2x-3*0	 {
l-x*o
X*1
, 3
x#7
2
2x
2x2-5x + 3 2x-3 2x	5
(x-l)(2x-3) 2x-3
5-3x	x-1 _	1
(x-l)(2x-3) 5-3x = 3-2x : 'x*l
b) Với
1-X
3(l-x) + 2 _ 2x-5(x-l)	1 —X
1 —X - (x-l)(2x-3) 5-3x
3 thì A = -	1
x^4	3-2x
2
do đó A nhận giá trị nguyên khi
3 - 2x là ước của 1, suy ra
3-2x = l 3-2x = -l
X = 1 (loại) X = 2
Vậy X = 2 thì A nhận giá trị nguyên. rx*l
c) Với
3 thì A =	1 do đó A = —ỉ—— khi và chỉ khi
x*4	3 —2x	6-x2
2 1
1 ■ = —và X * ±a/ó , X * 3 3-2x	6-x2
3 - 2x = 6 - X2 X2 - 2x - 3 = 0
 (x2 + x) - (3x + 3) = 0 (x + l)(x - 3) = 0 X = -1; X = 3 (loại).
Vậy X = -1 thì A = —ỉ—- .
6-x2
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 46. Lời giải, a)	7- = x , =	= ---4;
Bài 47. Lời giải. a) X * - 2	b) X ± 1
Bài 48. Lời giải, a) Phân thức được xác định khi X + 2	0 => X * -2;
	x“ +4x + 4 (x + 2)“	
Rút gọn	— 	= ——3— = X + 2;
x+2	x+2
Giá trị của phân thức bằng 1 khi X * -2 và X + 2 = 1 => X = -1 (thoả mãn);
Phân thức bằng Okhi X 5* -2 và X + 2 = 0 => X = - 2 (loại)
Vậy không có giá trị của X để phân thức bằng 0.
Bài 49. Lời giải. Các ước của 2 là ±1; ±2;
(x + l)(x - l)(x + 2)(x -2)* 0 khi X * ±1; X ±2.
(x + 1 )(x -1) (x + 2)(x - 2)
Vậy có thể chọn phân thức
ố X	• A
í, ' 3x2 ì
+ 1 :
lx + 1	)
I !-x J
Bài 50. Lời giải, a)
_x + x + l 1-x2-3x:
x + 1
1-x2
_2x + l 1 —X2 _ (2x + l)(l-x)(l + x) _ 1-x - x + 1 l-4x2 ~ (x + l)(l-2x)(l + 2x) -'1-2x ’
b) (x2-l)
x-1 x + 1
■1 =
x2-l x2-l
-(x -1)
= x + l-(x-l)-x2 + 1 = 3-x2.
Bài 51. Lời gidi. a)
<2 A
ư x;
2L-Í+Í ly2 y x
X +y _ X -xy + y
2 '	z~2
xy	xy
3 . __3 X +y
xy
2 ' 2 xy X - xy + y
7 = x + y;
= 2a là số chẵn ( do a nguyên)
1	,	1	X	2x + l
-2—. = 1 + —— = 1 + —- = -
x + 1 x + 1 x + 1
C2+4x + 4 X2-4x+ 4} ' í X+ 2	x72,
X2-4x + 4-(x2 +4x + 4) . X-2 + X + 2
(x + 2)2(x-2)2
(x + 2)(x-2)
-8x
(x + 2)2(x-2)2 ’
(x + 2)(x - 2) _	-4	= 4
- (x + 2)(x-2) ~ 4-x2
2x
Bài 52. Lời giải. Điều kiện của biến để giá trị của biểu thức được xác đinh là X 5* 0, X ±a.
;2+a2>| f 2a	4a ax + a2 -X2 -a2 2ax-2a2 -4ax
x(x-a)
x(a-x)2a(-a-x)
x(x + a)(x-a)
Bài 53. Lời giải.
. , , 1	x + 1
1 3— —	; 13—
Dùng kết quả trên ta có:
1+-
= 1+-
x + 1	2X + 1 + X + 1 3x + 2
1+-
1+
2x
x + 1
2x + l
2x + l
2x + l
Dùng kết quả câu a ta có:
1 . 1
2x + l
x + 1
2x + l
3x + 2 2x + 1
2x + l 3x + 2
5x + 3 3x + 2
x + 1
3x + 2 8x + 5
5x + 3 5x + 3
Bài 54. Đáp số. a) X * 0; X # 3;	b) x * ± Vĩ
Bài 55. Lời giải, a) Điều kiện X + 1;
X2 +2x + l _ (x +1)2	_ X +1
x2-l - (x-l)(x + l) - x-1
Với X = 2 giá trị của phân thức đã được xác định, do đó phân thức có giá trị bằng 3.
Với X = -1 giá trị của phân thức không xác định.
Chỉ có thể tính giá trị của phân thức đã cho nhờ phân thức rút gọn với những giá trị của biến thoả mãn điều kiện xác định đối với phân thức đã cho.
Bài 56. Lời giải, a) Phân thức xác định khi x3-8*0=>-x3 *8 => X 2;
Rút gọn
Với X -
3x2 +ÓX + 12 _	3(x2+2x + 4)	_	3
x3-8	- (x-2)(x2+2x + 4) - x-2
4001 thì 33	3
2000	X - 2 " 4001 _ 2 " 4001-4000 ~ 600°'
2000	2000
D. Bài tập luyện thêm
Tim điều kiện của X để giá trị của phân thức xác định.
a)
X2 -4
X2 -6x
X4 + x3 +2x-4
c)
9x-12x + 4
2. Cho phân thức: M =	.	-	.
2x4+4x2
a) Tìm điều kiện của X để giá trị của M được xác định; . b) Rút gọn phân thức M ;
Tìm giá trị của X để giá trị của phân thức bằng 0;
Tính giá trị của phân thức tại X = -3 .
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
1. a) Phân thức xác định khi X2 - 4	0 => X2 4 => X ±2;
b) Phân thức xác địưh khi X2 - 6x * 0 => x(x - 6)	0 :
c) Phân thức xác định khi 9x2 -12x + 4 * 0 => (3x -2)2 /0=>x/
2. a) M được xác định khi 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 +2)*0<»x^0 Giá trị của phân thức M được xác định khi X * 0;
b) M =
X4 + X3 + 2x - 4 _ (x4 - 4) + (X3 + 2x)
2x +4x
2x4+4x2
(x2 +2)(x2-2) + x(x2 +2)	x2+x-2,	..	(x-l)(x + 2)
2x2(x2+2)	2x2	2x2
X = 1 hoặc X = - 2 thì giá trị của phân thức bằng 0;
s 2
Tại X = - 3 giá trị của phân thức là j.