Giải toán 8 Bài 4. Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
§4. Những hằng đẳng thức đáng nhó (tiếp) Tóm tắt kiến thức Quy tắc nhân đa thức với đa thức. Các hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3+3A2B + 3AB2 + B3 (A-B)3 = A3-3A2B + 3AB2 - B3. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: A = (x -l)3(x + 1)3 - X6 + 3x4 +3x2 -1. Giải. A = (X — l)3(x +1)3 -X6 +3x4 +3x2 -1 = (x2-l)3-X6+3x4+3x2-1 = X6-3x4+3x2 -1 -X6 + 3x4 + 3x2 -1 = 6x2 -2 .. Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: B = 8x3-36x2y + 54xy2-27y3 55 52 VỚI X = —, y = —. 2 3 Giải. Ta có B = 8x3-36x2y+ 54xy2-27y3 = (2x-3y)3 Với X = y,y = y thì B = ^2.y-3.y^j =(55-52)3 =27. Ví dụ 3. Tim X, biết: (x + 3)3 - x(x -3)(x + 3) = -9 Giải, (x + 3)3 - x(x - 3)(x + 3) = -9 » X3 + 9x2 + 27x + 27 - x(x2 -9) = -9 o X3 + 9x2 + 27x+ 27-X3 +9x =-9 9x2 + 36x+36 = 0 3(x + 2)2 = 0 X =-2. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 26. Lời giải. (2x2+3y)3 =(2x2)3+3.(2x2)2.3y + 3.2x.2.(3y)2+(3y)3 = 8x6+ 36x4y + 54x2y2+27y3; LVl oV 1.3 9.2,27.. 2-X-3 = _ X4 — . X2 + X — 27 . u J 8 4 2 Bài 27. Lời giải, a) - X3 + 3x2 - 3x + 1 = (1- x)3; b) 8 - 12x + 6x2 - X3 = (2 - x)3. Bài 28. Lời giải. X3 + 12x2 + 48x + 64 = (x + 4)3 với X = 6 thì biểu thức bằng 1000; X3 - 6x2 + 12x - 8 = (x - 2)3 với X = 22 thì biểu thức bằng 8000. Bài 29. NHÂN HẬU D. Bài tập luyện thêm Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào X và y M = 8x3 + 36x2y - (2x + 3y)(4x2 + 12xy + 9y2) + 54xy2 + 27y3 + 3 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: N = (x + y + 2)3 -(x + y-2)3 +x2 +2xy + y2 với X + y = 2 . Chứng minh rằng: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a). Từ đó chứng minh nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc . Lời giải, hướng dẫn, đáp số M = 8x3 +36x2y-(2x + 3y)(4x2 +12xy + 9y2) + 54xy2 +27y3 +3 = (8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3) - (2x + 3y)(2x + 3y)2 + 3 = (2x + 3y)3 ~(2x + 3y)3+3 = 3. Vây M không phụ thuộc vào X và y. N = (x + y + 2)3 - (x + y- 2)3 + X2 + 2xy + y2 = [(x + y) + 2]3 - [(x + y) - 2]3 + X2 + 2xy + y2 = (x + y)3 +6(x + y)2 + 12(x + y) + 8 -(x + y)3 +6(x + y)2 -12(x + y) + 8 + (x + y)2 = 13(x + y)2+16với X + y = 2 thì N = 13.22+ 16 = 68. (a + b + c)3 = [(a + b) + c]3 =(a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 +c3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3(a + b)2 c + 3(a + b)c2 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) [ ab + (a + b)c + c2 J = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) [(ab + ac) + (bc + c2) j = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) [a(b + c) + c(b + c)] = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a). Khi đó nếu a + b + c = 0 thì (a + b + c)3 = a3 +b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = 0. Mà a + b + c = 0 a + b = -c b + c = -a c + a = -b Suy ra a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc .