Giải toán 8 Bài 4. Diện tích hình thang

§4. Diện tích hình thang
A. Tóm tắt kiến thức
Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao (h 2.25).
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó (h 2.26).
b
s=ị(a + b).h	s = a.h
2
Hình 2.25	Hình 2.26
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho hình thang ABCD, Â = D = 90° , AD = 4cm, BC = BD = 5cm.
Tính diện tích hình thang.
Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AB. Tính diện tích của tứ giác EBCD.
Giải, a) Xét AABD vuông tại A, có AB2 = BD2 - AD2 = 25 - 16 = 9 => AB = 3 (cm).
Vẽ BH 1 CD thì DH = AB = 3cm do đó CD = 6cm.
Hình thang ABCD có diên tích là:
s (AB + CD).AD,_(3 + 6)-.4^lg 1 2 . . 2
b) Ta có BE//CD và BE - CD (cùng bằng 2AB) suy ra tứ giác EBCD là hình bình hành. Diện tích EBCD là Sọ = CD.AD = 6.4 = 24 (cm2).
Nhận xét: Bạn có thể tính diện tích s2 của tứ giác EBCD bằng cách lấỵ diện tích Sj của hình thang ABCD cộng với diện tích của tam giác ADE: s2 = Sj + SADE = 18 + 1.3.4 = 24 (cm2).
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 26. Lời giải. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên S] = AB.CD
=> AD = Sj:AB = 828:23 = 36m.
Diện tích của hình thang ABED là:
■ = (AB+DE).AD = (23 + 30.36	2
2 2
Bài 27. Hướng dẫn: Hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF có chung đáy AB và có chiều cao bằng nhau nên diện tích của chúng bằng nhau.
Cách vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với một hình bình hành cho trước: vẽ như hình 141 SGK.
Bài 28. Lời giải
Ta đặt FE = ER - RU = a; khoảng cách giữa hai đường thẳng song song IG và FU là h.
Ta có SIGEF = SIGRE - SIGUR( = a.h) = SIFR = SGEU( - a.h) Vậy có 5 hình có diện tích bằng nhau.
N
Bài 29. Lời giải
Hình 2.28
Giả sử ABCD là hình thang với M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Hai hình thang AMND và MBCN có cùng chiều cao, có đáy nhỏ bằng nhau (MA = MB), có đáy lớn bằng nhau (ND = NC) nên diện tích của chúng bằng nhau.
Bài 30. Lời giải. Ta có AGAE = AKDE (cạnh huyền, góc nhọn);
AHBF = AICF;
Suy ra SGAE - SKDE; SHBF - S1CF Do đó SABCD = SGHIK = EF.GK =
AB + CD
	.h (h là chiêu cao cua
hình thang).
Như vây ta có một cách khác để chứng minh công thức tính diện tích hình thang.
Nhận xét: Cách khác để tính diện tích hình thang: diện tích hình thang bằng tích của đường trung bình với đường cao.
Bài 31. Trả lời. Các hình 2, 6, 9 có cùng diện tích, là 6 ô vuông.
Các hình 1, 5, 8 có cùng diện tích, là 8 ô vuông.
Các hình 3, 7 có cùng diện tích, là 9 ô vuông.
D. Bài tập luyện thêm
Cho hình bình hành ABCD, AB = 8cm, BC = 4cm. Vẽ AH ± CD, AK 1 BC.
Biết AH = 3cm, tính AK.
Qua giao điểm o của AC và BD vẽ một đường thẳng bất kì cắt AB và CD lần lượt tại M và N. Tính diện tích tứ giác AMND.
Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 3cm, CD = 5cm. Xác định vị trí của điểm M trên AB sao cho tỉ số diện tích của các hình thang AMCD và BMCD là 6:7.
Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB < CD. Gọi M là trung điểm của AD. Qua M vẽ một đường thẳng song song với BC cắt CD tại N. Chứng minh rằng diện tích hình thang ABND bằng nửa diện tích hình thang ABCD.
Hình thang cân ABCD (AB // CD) có tổng hai đáy bằng 6cm và tổng hai cạnh bên bằng 5cm. Tính diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.
Lời giải, hưóng dẫn, đáp sô
a) Ta có BC.AK = CD.AH (bằng diện tích ABCD) suy ra
CD.AH 8.3
AK = —= — = 6cm
BC 4
b) AAOM = ACON (g.c.g), suy ra AM - CN.
Diện tích hình thang AMND là s = I (AM + DN).AH
= I (CN + DN).AH = 1 .8.3 = 12 (cm2). 2 2
A X M 3-x B
=> X = lcm.
Vậy M nằm cách A là lcm.
Vẽ AE // BC (EeCD) ta được EC = AB. Xét AADE có MN//AE (vì cùng song song với BC), MA = MD nên ND = NE.
Diện tích của hình thang ABND là: s, = (AB + BN)-h (h là chiều cao) (1)
Diện tích của hình thang ABCD là:
s_ (AB + DC).h _ (AB + EC + DE).h _ 2(AB + DN).h 2 2 2
Từ (1) và (2) suy ra s, =yS .
Ta có AD = 5:2 = 2,5 (cm).
Vẽ đường cao AH thì AH < AD, do đó AH < 2,5 (cm)
Diện tích hình thang cân ABCD là: e (AB + CD).AH 6.2,5
2 2
s < 7,5 (cm“). Vậy diện tích lớn nhất của
hình thang cân ABCD là 7,5cm2 khi AH = AD, tức là khi ABCD là hình chữ nhật.