Giải toán 8 Bài 2. Diện tích hình chữ nhật

§2. Diện tích hình chữ nhật
A. Tóm tắt kiến thức
Khái niệm diện tích đa giác
Sô' đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.
Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương.
Diện tích đa giác có các tính chất sau:
Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng lcm, ldm, lm,...
làm đơn vị đo thì đơn vị diện tích tương ứng là lcm2, ldm2, lm2,...
Công thức
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó s - a.b.
Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó s = a .
Diện tích hình tam giác vuông bằng nửa tích
-	1	Hình 2.7
hai cạnh góc vuông s = 4- a.b.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ. Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90°), cạnh BC = 17cm và đáy lớn CD hơn đáy nhỏ AB là 8cm. Vẽ đường cao BH. Gọi diện tích ABHC là Sj, diện tích hình chữ nhật ABHD là s2. Biết Sj:S2 = 2:5. a) Tính Sị.
b) Tính độ dài hai đáy của hình thang.
Giải, a) Tứ giác ABHD là hình chữ nhật vì có ba góc vuông,
suy ra AB = DH.
Ta có CH = CD - DH = CD - AB.
Hình 2.8
Vậy CH = 8cm.
Xét ABHC vuông tại H có:
BH2 = BC2 - HC2 = 172 - 82 = 225.
Suy ra BH = 15cm.
Do đó s, =ịHC.BH=ị.8.15 = 60 (cm2) 2 2
b) Ta có Sj:S2 = 2:5
Q„	_ SI-5 _ 60-5-ICO
Suy ra S-, = —7— = —7— = 150 (cm ).
2 2
Theo công thức tình diện tích hình chữ nhật ta có:
s? = AB.BH => AB = -777 = 7^7-= 10 (cm).
2	BH 15
Do đó CD = 10 + 8= 18 (cm)
Nhận xét: Khi biết hai kích thước a và b của một hình chữ nhật thì ta tính được diện tích của nó theo công thức : s - a.b (1)
Ngược lại, nếu biết diện tích và một kích thước thì tìm được kích thước
s
kia theo công thức a = 7-	(2)
b
Từ (1) hoặc (2) ta suy ra với một diện tích cho trước thì hai kích thước của hình chữ nhật là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 6. Lời giai. Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là a, chiều rộng ban đầu là b thì diện tích ban đầu là s = a.b.
Sau khi thay đổi, hình chữ nhật có chiều dài là a', chiều rộng là b', diện tích mới là S' = a'.b'.
Nếu a' = 2a và b' - b thì S' = (2a).b = 2ab = 2S.
Nếu a' = 3a và b' = 3b thì S' - (3a).(3b) - 9ab = 9S.
Nếu a' = 4a và b' - — b thì S' - (4a).(-ị b) = ab = s.
4	4
Bài 7. Hướng dân. Tính s của nền nhà được s = 22,68 m . tông-diện
9 2
tích của các cửa số băng S' = 4 m .
S'
Tính tỉ số phần trăm 4- a 17,6% < 20% s
Kết luận: Gian phòng không đạt chuẩn về ánh sáng.
Bài 8. Đáp số: 3,75 mm2.
Bài 9. Lời giải
Bài 10. Lời giải.
Hình 2.9
Giả sử tam giác vuông đã cho là tam giác ABC, cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b và c.
Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền là a .
Tổng diện tích hình vuông dựng trên 2 2
hai cạnh góc vuông là b“ + c
Theo định lí Py-ta-go ta có a - b + c .
Vậy tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.
Bài 11. Hướng dẩn. Diện tích các hình này bằng nhau theo tính chất 2 của diện tích.
Bài 12. Đáp số: Diện tích mỗi hình là 6 ô vuông.
Bài 13. Lời giải. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
Do đó: SABC = SADC; SAFE = SAHE; SEKC = SEGC.
Suy ra: SABC - SAFE - SEKC = SADC - SAHE - SEGC.
Vậy SEFBK - SEGDH-
Nhận xét: Nếu ABCD là hình bình hành thì bài toán trên vẫn đúng.
Bài 14. Đáp số: 280000m2 = 0,28km2 = 28ha = 2800a.
Bài 15. Lời giải.
Hình chữ nhật ABCD có diện tích là 5x3 = 15 (cm2) và có chu vi là (5 + 3).2 = 16 (cm)
Hình chữ nhật có kích thước lcm xl2cm có diện tích là 12cm (nhỏ hom diện tích ABCD), chu vi là 26cm (lớn hơn chu vi ABCD).
Có thể vẽ được vô số hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD cho trước.
Hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD thì cạnh băng 16:4 = 4 (cm), diện tích băng 16cm~.
Vậy diện tích hình chữ nhật nhỏ hơn diện tích hình vuông có cùng chu vi (vì 15 < 16).
Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 2p thì hình vuông có diện tích nhỏ nhất như sau: Gọi các kích thước của hình chữ nhật là a và b thì a + b = p và a.b = s
Ta có 4ab - (a - b)2 = (a + b)2 = p2(l)
2
Vì (a - b) > 0 với mọi a, b nên từ (1) suy ra ab <	.
2
Tích ab lớn nhất là bằng — khi và chỉ khi a = b, suy ra hình chữ nhật
có chu vi không đổi thì diện tích đạt giá trị lớn nhất khi nó là hình vuông.
D. Bài tập luyện thêm
Một hình chữ nhật có tỉ số hai kích thước là 1:2, đường chẻo dài 15cm. Tính diện tích của nó.
Một tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông bằng 15cm. Tổng các bình phương của hai cạnh này bằng 117cm . Tính diện tích của tam giác vuông đó.
Cho hình vuông ABCD cạnh 6cm. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM = AN = X. Vẽ ME±CD, NFeBC, hai đường này cắt nhau tại G. Xác định vị trí của M và N để tổng'diện tích hai hình vuông AMGN và GFCE nhỏ nhất.
Lời giải, hướhg dẫn, đáp số
Ta đạt AD = a thì AB = 2a Ta có a2 + (2a)2 = 152; 5a2 = 225; a2 = 45. Diện tích hình chữ nhật ABCD là s = a.2a = 2a2 = 2.45 = 90 (cm2).
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là a và b.
Theo đề bài thì: a + b = 15 (cm) và a2 + b2 - 117 (cm2). Ta có (a + b)2 = 152 a2 + 2ab + b2 = 225
2ab = 225 - (a2 + b2) = 225 - 117 = 108 => ab = 54.
Diện tích tam giác vuông đó là:
S = ịab = ị54 = 27 (cm2). 2 2
Nhận xét: Để tính diện tích tam giác vuông, không nhất thiết phải tính độ dài của từng cạnh góc vuông mà như cách giải ở trên thì ta chỉ cần tính được tích hai cạnh góc vuông rồi chia cho hai.
G
DE	c
Hình 2.11
và N
Diện tích hình vuông AMGN là X .
Diện tích hình vuông GFCE là (6 - x)2. Tổng các diện tích đó là: s = X2 + (6 - x)2 = 2x2 - 12x + 36 = 2(x2 - 6x + 18) = 2[(x - 3)2 + 9]
= 2(x - 3)2 + 18 > 18 (vì (x - 3)2> 0) Do đó min s = 18 khi X = 3, tức là khi lần lượt là trung điểm của AB và AD.