Giải toán 8 Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

§4. Đường trung bình của tarn giác,
của hình thang
A. Tóm tắt kiến thức
Định nghĩa
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác hình 1.28a.
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang hình 1.28b.
A	A	B
a)	b)
Hình 1.28
Tính chất
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=^-AC . Gọi o là giao điểm của BD với AM. Chứng minh rằng:
o là trung điểm của AM.
OD = -BD.
4
Giải, a) Gọi E là trung điểm của CD
thì AD = DE = EC (vì AD = ị AC)
3
Xét ADBC có MB = MC, DE = EC nên ME là đường trung bình,
do đó ME // BD và ME = ị BD (định lí 2).
2
Xét AAME có OD // ME và AD = DE nên OA = OM (định lí 1). b) Ta có OD là đường trung bình của AAME nên OD = -^-ME .
Mặt khác ME = y BD (chứng minh trên) nên OD - BD .
Nhận xét: Điểm mấu chốt trong lời giải trên là vẽ điểm phụ E (E là trung điểm của CD). Nhờ có điểm E mà ta có thể vận dụng các định lí 1 và định lí 2 để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng hoặc chứng minh hai đường thẳng song song.
Nói chung, khi trong hình đã có trung điểm của một đoạn thẳng, ta có thể vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng khác để có thể vận dụng định lí đường trung bình của tam giác hoặc của hình thang.
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi N là trung điểm của BC và o là một điểm bất kì trên cạnh AD. Trên tia NO lấy điểm p sao cho o là trung điểm của NP. Gọi H là hình chiếu của p trên đường thẳng AD. Chứng minh rang PH =	.
Giải. Phân tích: Biểu thức 	—	 chính là nửa tổng của hai đáy. Điều
này gợi ý cho ta vẽ đường phụ là đường trung bình của hình thang.
Gọi M là trung điểm của AD. Khi đó MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra MN// AB và MN = ^B^CD (định lí 4).
AHOP và AMON có:
OP = ON (gt)
HOP = MON (đối đỉnh).
Do đó AHOP = AMON
Hình 1.30
Do AB ± AD nên MN ± AD
(cạnh huyền, góc nhọn).
ÁR 4- CD
Suy ra PH = MN, dẫn tới' PH =
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 20. Hướng dẫh: Chứng minh IK // BC rồi dùng định lí 1 để suy ra X - 10cm.
Bài 21. Hướng dẫn: CD là đường trung bình của AOAB, dùng định lí 2 để suy ra AB = 6cm.
Bài 22. Lời giải. Xét ADBC có DE = EB; MB = MC nên EM là đường trung bình, suy ra EM // CD (định lí 2).
Xét AAEM có DI // EM và AD = DE nên AI = IM (định lí 1).
23. Hướng dẫn: Chứng minh MP được X = 5dm.
Bài 24. Lời giải. Vẽ AH ± xy;
BK ± xy; CI ± xy Ta được AH // BK // CI.
Xét hình thang ABKH có CI//AH// ]
c _	
20
"ì
—
1
1
ì ?
1
1 •
n
12
"1
X H
I
K y
IK // NQ rồi dùng định lí 3 tính B
Hình 1.31
và CA = CB nên IH = IK (định lí 3).
Do đó CI là đường trung bình nên CI =
AH + BK
2
12 + 20
2
= 16 (cm).
Bài 25. Lời giải.
Xét hình thang ABCD có EF là đường trung bình nên EF // AB.
Xét AABD có EK là đường trung bình nên EK // AB.
Qua điểm E có EK và EF cùng song song với AB nên theo tiêu đề Ơ-Clit thì E, K, F thẳng hàng.
Nhận xét: Trong một hình thang, các trung
điểm của hai cạnh bên và hai đường chéo luôn thẳng hàng.
Bài 26. Lời giải. Xét hình thang ABFE có CD là đường trung bình AB + EF 8 + 16
nên CD =	3	= ——— = 12 (cm).
2 2
CD + GH
2
Xét hình thang CDHG có EF là đường trung bình nên EF =
CD + AB
„	_ nrzCD AB
Suy ra EF < —— + —— 2 2
Bài. 28. Lời giải, a) Xét hình thang ABCD có EF là đường trung bình
nên EF // AB // CD.
Xét AADC có EK // CD và EA = ED
I
A
6
B
D
Hình 1.34
nên KA = KC.
Xét AABD có EI // AB và EA = ED nên BI = ID.
b) EI là đường trung bình của AABD
DC
EK là đường trung bình của AADC nên
EK = —7^ = 5 (cm).
2
IK = EK-EI = -^-^ = 5-3 = 2 (cm).
2 2
D. Bài tập luyện thêm
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Gọi H là trung điểm của ẠD. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BH, cắt tia này tại K, cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của CD.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Trên DA và DC lấy các điểm M và N sao cho DM = DN. Tia BM cắt AC tại E. Gọi E là trung điểm của CE, chứng minh rằng:
ADAN = ADBM;
AN 1 DF.
Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại o. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng MN cắt BD và AC lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng AOHK cân.
Cho hình thang ABCD, hai đáy AB và CD không bằng nhau. Gọi p, Q lần lượt là trung điểm của BD và AC. Chứng minh rằng:
PQ//AB//CD;
PQ bằng nửa hiệu hãi đáy.
Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD gấp đôi đáy nhỏ AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng MN cắt BD và AC lần lượt tại p và Q. Chứng minh rằng MP = PQ = QN.
Lời giải, hưởng dẫn, đáp sô
Xét AABM có H là trực tâm nên MH 1 AB.
Suy ra MH // AC (vì cùng vuông góc VỚI AB).
Xét A DAC có MH // AC và HA = HD
nên MD = MC.
a) Tam giác ABC vuông cân tại A nên B = c = 45°.
Các tam giác ADB và ADC vuông cân, suy ra DA - DB = DC.
ADAN = ADBM (c.g.c).
b) Gọi H là giao điểm của BE với AN.
Xét AADN vuông tại D,
A
ta có A + N = 90° .
Mặt khác, Aị = B) = 90° (cặp góc tương ứng của hai tam giác tương' ứng bằng nhau).
Suy ra ỒỊ + N = 90°, do đó BHN = 90° => AN ± BE.
Xét AEBC có DF là đường trung bình nên DF // BE, do đó AN 1 DF (vì AN 1 BE).
Gọi I là trung điểm của CD. Ta có IM // AC
và IM =4^; IN//BDvà IN = ^.
2 2
Vì AC = BD nên IM = IN.
Do đó AIMN cân, suy ra Ml = N|.
Ta có OHK = Ni, OKH = Mi (cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song).
Suy ra OHK = OKH . Vậy AOKH cân.
Nhận xét: Ta sẽ hoàn toàn bế tắc nếu không vẽ điểm phụ I. Trong đề bài đã có hai trung điểm của hai cạnh nhưng chưa có đường trung bình của tam giác. Vì vậy ta cần vẽ thêm trung điểm của cạnh thứ ba để vận dụng được định lí đường trung bình của tam giác.
a) Gọi M là trung điểm của AD.
Xét AADC có MQ là đường trung bình nên MQ // CD. (1)
Xét AABD có MP là đường trung bình
nên MP // AB do đó MP // CD. (2)
Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-Clit ta có A	B
ba điểm M, p, Q thẳng hàng, do đó PQ // AB // CD.
b) Tacó MQ = -^, MP=4^.
2 2
p.	un UD _ CD AB
Do đó MQ - MP = —	—-
2 2
u„.. CD-AB hay PQ =	.
Hình 1.38
Ta chứng minh được p là trung điểm của BD;
Q là trung điểm của AC.
AR
Ta có MP = ON = ~ .
2
Theo câu b của bài 4 ta có
CD-AB _ 2AB-AB _ AB
Do đó MP = PQ = QN (=
2 “ 2 “ 2 ■