Giải toán 8 Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

§9. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng
cách phôi hợp nhiều phương pháp
A. Tóm tắt kiến thức
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
B. Ví dụ giải toán
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : X3 - y3 -3x2 + 3x -1.
Giải. X3 - y3 - 3x2 + 3x -1 = (x3 - 3x2 + 3x -1) - y3 = (x -1)3 - y3
= (x-l-y)[(x-l)2 + (x-l)y + y2].
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : X2 -3xy + 2y2.
Giải. X2 -3xy + 2y2 = X2 -xy-2xy + 2y2 = (x2 -xy)-(2xy-2y2)
= x(x - y) - 2y(x - y) = (x - y)(x - 2y).
Ví dụ 3. Tim X, biết:
a) 9x2-4-(3x-2)(x-1) = 0; b) X3+64 + (x + 4)(2x-16) = 0.
Giải, a) 9x2-4-(3x -2)(x-1) = 0 (9x2-4)-(3x-2)(x-1) = 0
3x-2 = 0
„ 
2x + 3 = 0
 (3x - 2)(3x + 2) - (3x - 2)(x -1) = 0 (3x-2)[(3x + 2)-(x-l)] = 0.
 (3x-2)(2x + 3) = 0 
b) X3 + 64 + (x + 4)(2x -16) = 0 (x3 + 64) + (x + 4)(2x -16) = 0
(x + 4)(x2 -4x +16) + (x + 4)(2x -16) = 0
x = -4 X = 2.
 (x + 4)(x2 - 2x) - 0 x(x + 4)(x - 2) = 0 
c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa
Bài 51. Lời giải, a) X3 -2x2 + X = x(x2 - 2x + 1) = x(x -1)2 ; b) 2x2+4x + 2-2y2 =2(x2+2x + l-y2)
(x + 1) -y2 = 2(x + l-y)(x + l + y);
c) 2xy-x2-y2 +16 = 16-(x2-2xy + y2)
= 16 - (x - y)2 = (4 - X + y)(4 + X - y).
Bài 52. Lời giải. (5n + 2)2 - 4 = (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) luôn luôn chia hết cho 5 với mọi giá trị n thuộc z.
Bài 53. Lời giải, a) X2 - 3x + 2 = X2 - 2x - X + 2 = (x2 - 2x) - (x - 2)
= x(x - 2)-(x-2) = (x-2)(x-1);
X2 + X -6 = X2 -2x + 3x -6 = (x2 -2x) + (3x -6)
= x(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 3);
X2 + 5x+ 6 = X2 + 2x+ 3x+ 6 = (x2 + 2x) + 3(x + 2)
= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3).
Bài 54. Lời giải, a) X3 + 2x2y + xy2 - 9x = x(x2 + 2xy + y2 - 9)
= x[(x2 + 2xy+ y2)-9j = x^(x + y)2 “32J = x(x + y-3)(x + y + 3);
2x -2y-x2 + 2xy-y2 = (2x -2y)-(x2 -2xy + y2)
= 2(x -y)-(x-y)2 = (x-y)(2-x +y) ;
X — 2x2 = x2(x2-2) = x2(x - V2)(x + V2).
; X = -
c) X = 3; X = 2; X = -2.
= (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500 .
b) X2-y2-2y-l = X2-(y2 +2y + l) = X2-(y + 1)2 = (x - y - l)(x + y +1) = (93 - 6 -1)(93 + 6 +1) = 86.100 = 8600.
Bài 57. Lời giải, a) X2 - 4x + 3 = X2 - X - 3x + 3 = (x2 - x) - (3x - 3)
= x(x-l)-3(x-1) = (x-l)(x-3).
X2 + 5x + 4 = X2 + X + 4x + 4 = (x2 + x) + (4x + 4)
= x(x +1) + 4(x +1) = (x + l)(x + 4).
X2 - X - 6 = X2 + 2x -3x - 6 = (x2 + 2x) -(3x + 6)
= x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3).
x4 + 4 = X4 -4x2 + 4x2 + 4 = (x4 + 4x2 + 4)-4x2
= (x2 + 2)2 - 4x2 = (x2 + 2 - 2x)(x2 + 2 + 2x).
Bài 58. Lời giải, n3 - n - n(n - l)(n + 1) với n thuộc z là tích của ba số nguyên liên tiếp. Lập luận tiếp để suy ra điều phải chứng minh.
D. Bài tập luyện thêm
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) a6 -b6 ;	b) a6 +b6 .
Phân tích đa thức sau thành nhân tử a4 -a3 -4a2 -2a-12.
Tìm 4 số nguyên dương liên tiếp, biết tích của chúng bằng 360.
Lời giải, hướng dẫn, đáp số
a) a6-b6 =(a3-b3)(a3+b3)
= (a-b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 -ab + b2);
b) a6 + b6 = [(a2)3 + (b2)3] = (a2 + b2)(a4 - a2b2 + b4).
a4 - a3 - 4a2 - 2a-12 = (a4 - 4a2) - (a3 + 2a +12)
= a2 (a2 - 4) - (a3 + 2a2 - 2a2 + 2a +12)
= a2 (a - 2)(a + 2) - [(a3 + 2a2) + 2(-a2 + a + 6)]
= a2(a - 2)(a + 2) - [a2(a + 2) + 2(-a2 - 2a + 3a + 6)]
= a2(a - 2)(a + 2) - a2 (a + 2) + 2(a + 2)(a - 3)
= (a + 2)[a2(a-2)-a2 + 2(a-3)] = (a-2)[a2(a-3) + 2(a-3)] = (a-2)(a-3)(a2+2).
Gọi số nguyên dươrrg nhỏ nhất là X theo bài ra ta có :
x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 360 [x(x + 3)][(x + l)(x + 2)] = 360 «(x2+3x)(x2+3x + 2) = 360
+) Đật y - X2 + 3x , ta có y là số nguyên dương và y(y + 2) = 360
 y2 + 2y - 360 = 0e>y2 + 20y-18y-360 = 0
 (y2 + 20y) - (18y + 360) = 0 y(y + 20) -18(y + 20) = 0
. (y + 20)(y-18) = 0
y = -20 y = 18.
+) Với y = 18,tacó x2+3x = 18x2+3x-18 = 0 X2 +6x -3x -18 = 0 o (x2 + 6x)-(3x + 18) = 0
 x(x + 6)-3(x + 6) = 0 (x + 6)(x -3) = 0 
X = 3.
X = -6
Vì X nguyên dương nên X - 3 thoả mãn. Do đó 4 số nguyên dương liên tiếp là 3; 4; 5; 6.