Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 1. Đa giác. Đa giác đều
Chương II. ĐA GIÁC - DIỆN TÍCH ĐA GIÁC §1. ĐA GIÁC-ĐA GIÁC ĐỀU A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Khái niệm đa giác Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phắng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. Đa giác đểu Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Tổng sô'đo các góc của đa giác n cạnh: (n - 2).180° ọL L ’ ’’ " , (n-2).180° Sô đo một góc cúa đa giác đêu n cạnh: - Sô đường chéo cúa đa giác n cạnh: ——V—- B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1. Bài tập mẫu . (n-2) 180° a) Chứng minh rằng số đo góc của hình n - giác đều là — b) Tính số đo góc của hình lục giác đều, hình bát giác đều. n Giải Vẽ một n - giác lồi rồi vẽ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n - giác lồi đó, ta được (n - 2) tam giác. Tổng .các góc của hình n - giác lồi bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác, tức là có số đo bằng (n - 2). 180°. Hình n - giác đều có n góc bằng nhau nên mỗi góc có sô' đo là (n-2).180° Với hình lục giác đêu ta có n = 6, nên sô đo góc của nó là (ẻ-2H8ổ° : ; ; . ,6 , í • . , , , , Với hình bát giác đêu ta có n - 8, nên sô đo góc của nó là r8 -2H80"; 35; n(n - 3) 8 a) Chứng minh rằng số đường chéo của đa giác lồi n cạnh bằng b) Tính sô' cạnh cùa một đa giác biết rằng sô' đường chéo của no gấp đôi sô' cạnh. Giải Xét đa giác n cạnh ApAg... An. Từ đỉnh Aj ta vẽ được n - 3 đường chéo bẵng cách nối Aj với các đỉnh của đa giác (trừ ba đỉnh Ap A>, A ). Với n đỉnh, có n(n - 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo đã được tính hai lần. " n(n-3) => n(n - 3) = 4n => n - 3 = 4 => n = 7 Đa giác phải tìm có 7 cạnh. 2. Bài tập cơ bản Hãy vẽ phác một lục giác lồi. Hãy nêu cách nhận biết một đa giác lồi. Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau: Có tất cả các cạnh bằng nhau. Có tất cả các góc bằng nhau. Cho hình thoi ABCD có A = 60°. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều. 4. Điền số thích hợp vào các ô trông trong bảng sau: A Đa giác n cạnh Sô cạnh 4 Sô' đường chéo xuâ't phát từ một đỉnh 2 Sô' tam giác được tao thành 4 Tổng sô' đo các góc của đa giác 4.180° = 720° Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n-giác đều. Giải ~ 2 A B Học sinh tự vẽ phác một lục giác lồi. (Chẳng / -Ỵ hạn lục giác lồi ABCDEF như hình bên). / \ • Cách nhận biết một đa giác lồi: Một đa giác p/ \ c lồi là một đa giác thỏa mãn hai điều kiện sau: \ / Các cạnh chỉ cắt nhau tại các đỉnh, nghĩa là \ / không có hai cạnh nào cắt nhau tại một điểm mà không phải là đỉnh. Một đa giác k thỏa mãn điều kiện này là đa giác đơn. Đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thang chứa một cạnh tùy ý của nó. Một đa giác đơn thỏa mãn thêm điều kiện này là một đa giác lồi. a) Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau nhưng các góc có thê không bằng nhau nên hình thoi không buộc phải là đa giác đều. b) Hình chữ nhật có tất cả các góc bằng nhau nhưng các cạnh có thế’ không bằng nhau nên hình chữ nhật không buộc phải là đa giác đều. _ _ ABCD là hình thoi, Â = 60° nên B = 120°, D = 120°. AAEH là tam giác đểu (vì lầ tam gia'c cân có một góc 60°) nên Ê = 120°,H = 120°. Cũng thế, F = 120°,C Vậy EBFGDH có tất cả các góc bằng nhau, mặt khác EBFGDH cũng có tất cả các cạnh bằng nhau (bằng nửa cạnh hình thoi). Vậy EBFGDH là một lục giác đều. Q „„ Ả 1A (n-2).18O Suy ra sô đo môi góc cúa hình n - giác đêu là — n Điền vào ô trống trong bảng như sau: Tứ giác Ngũ giác Lục giác n - giác Số cạnh 4 5 6 n Sô' đường chéo xuâ't phát từ một đỉnh 1 2 3 n - 3 Sô' tam giác được tạo thành 2 3 4 . n - 2 Tổng sô' đo các góc của đa giác 2.180° = 360° 3.180° = 450° 4.180° = 720° (n - 2). 180° 5 Tổng số đo các góc của hình n - giác bằng (n - 2). 180° Áp dụng công thhc trên, ta có: ọ; , „5 L. L kạ (5-2). 180° inoo Sô đo môi góc của ngũ giác đêu là -—-— = 108 ọy L, ' > .. - (6-2)?180° o Số do môi góc cúa lục giác đêu là = 120 3 1 2. Bài tập tương tự Tồn tại hay không một đa giác mà số đường chéo của nó Bằng số cạnh c. Bằng một phần ba số cạnh Bằng một nửa số cạnh D. Bằng hai lần số cạnh Tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác, đa giác n cạnh.