Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang
§2. HÌNH THANG A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Định nghĩa Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là liai đáy. Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bèn. Nhận xét Ư H Cạnh đáy Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng Ap. nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. Hình thang vuông a) Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. §4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC - CỦA HÌNH THANG A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Đường trung bình của tam giác Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. ĐỊnli lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. AABC, AD = DB, AE = EC => DE // BC, DE = |bC Đường trung bình của hình thang Định nghĩa'. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nôi trung điểm hai cạnh bên của hình thang. ĐỊnli lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. Định lí 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Độ dài đường trung bình của hình thang bằng 5cm. Tỉ số độ dài hai đáy của hình thang bằng 77. Tính độ dài hai đáy. Giải Áp dụng định lí về đường trung bình của hình thang ta có: A AB + CD EF = —— = 5 cm 2„, Mặt khác: => AB + CD = 10cm AB 2 AB + CD 2+3 CD 3 CD 3 10 5 => CD 3 CD = 6cm AB = 10 - CD = 10 - 6 = 4cm Vậy AB = 4cm; CD = 6cm 2. Bài tập cơ bản Đường trung bình của tam giác Hình 41 Hình 42 Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa trên hình 42, biết rằng c là trung điểm của OA, D là trung điểm của OB và CD = 3cm. Cho hình 43. Chứng minh rằng AI = IM. Hình 43 Đường trung bình của hình thang Tính X trên hình 44. Hai điểm A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Khoảng cách từ điểm A đến xy bằng 12cm, khoảng cách từ điểm B đến xy bằng 20cm. Tính khoảng cách từ trung điểm c của AB đến xy. Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng. Giảị^ Ta có K = C = 50° nên IK // BC (K = C đồng vị) Mà KA = KC suy ra IA = IB = 10cm Vậy X = 10cm Ta có CO = CA (gt) DO = DB (gt) Nên CD là đường trung bình của AOAB. Do đó CD = — AB Suy ra AB = 2CD = 2.3 = 6cm 22. ABDC CÓ BE =• ED và BM = MC nên EM // DC Suy ra DI // EM AAEM CÓ AD = DE và DI // EM nên AI = IM 23. 24. Ta có IM = IN, IK // MP // NQ nên K là trung điểm của PQ. Do đó PK = KQ = 5 Vậy X - 5dm. Kẻ AH, CM, BK vuông góc với xy (H, M, K là chân đường vuông góc). Hình thang ABKH có AC = CB, CM // AH // BK nên MH = MK và CM là đường trung bình. AH + BK Do đó CM = ■ 12 20 -h h M K y 2 12 + 20 = 16 (cm) H 25. Ta có EA = ED, KB = KD (gt) Nên EK // AB Lại có FB = FC, KB = KD (gt) Nen KF//DC//AB Qua K ta có KE và KF cùng song /song với AB nên theo tiên đề ơclit ba điểm E, K, F thẳng hàng. -’ 3. Bài tập tương tự 1. Cho các hình thang và các điều kiện trên hình vẽ. Hình 19: Tính PQ. Hình 20: Tính AB, CD, EF. Hình 19 2. Cho AABC và các trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE và CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, GE. Chứng minh MI = IK = KN. LUYỆN TẬP Tính X, y trên hình 45 trong đó AB // CD // EF // GH. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thứ tự y Hình 45 là trung điểm của AD, BC, AC. So sánh các độ dài EK và CD, KF và AB. AB + CD Chứng minh rằng EF < - . 28. Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ỏ K. Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID. Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài El, KF, IK. Giải AB // EF nên ABFE là hình thang CA = CE và DB = DF nên CD là đường trung bình cua hình thang ABFE. Hay X = 12 CD + GH Tương tự CDHG là hình thang, EF là đường trung bình của hình thang CDHG. GH = 2EF-CD = 2.16-12 Nên EF = GH = 20 hay y = 20 Vậy X = 12, y = 20 a) Trong ẤẤCD có EA = ED, KA = KC (gt) nên EK là đường trung bình của AACD Do đó EK = ™ Tương tự KF la đường trung bình của AABC. ~ ’ AB Nên KF = -— Ta có EF < EK + KF (bất đẳng thức trong AEFK) Nên EF<EK + KF = ^ + 4^ = CD; AB í X. CD + AB 2 2 2 Vậy EF < 1 ' a) Vi EA = ED, FB = FC (gt) Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó: EF // AB // CD AABC có BF = FC và FK // AB nên: AK = KC AABD có AE = ED và EI // AB nên: BI = ID b) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD. . pr AB + CD 6-10 o nên EF = = —■——— = 8 z .2 2 . ™ ~ ™ 1 _ 1 EI là đường trung bình của AABD nên EI - 77AB = ^.6 = 3cm v , • 2. 2 KF là đường trung bình của AABC nên KF = — AB = —.6 = 3 (cm) Lại có EF = EI + IK + KF 2 2 nen IK = EF - (El + KF) = 8 - (3 + 3) = 2 (cm)