Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 12. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

§12. CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SAP XẾP
A. KIẾN THỨC Cơ BẢN
Phương pháp:
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên.
Với hai đa thức A và B của một biến, B * 0 tồn tại duy nhất hai đa
thức Q và R sao cho:
A = B.Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1
Nếu R = 0, ta được phép chia hết.
Nếu R 0, ta được phẻp chia có dư.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
1. Bài tập mẫu
Chia đa thức rồi viết kết quả dưới dạng A = BQ + R
(12x4 + 4x3 + 9x + 3) : (3x - 2)
(4x5 + 2x4y - 6x3y2 + 3xy4 - y5) : (2x3 - 2xy2 + y3)
Giải
a) 12x4+4x3 "l2x4 -'8x3
+ 9x + 3
3x - 2
12x3	+ 9x + 3
12x3 - 8x2
4x3 + 4x2 + |x +
43
8x2 + 9x + 3
43
_3
43
X + 3
86
3X’ 9
113
9
8.. 43.	113
3	9	9
2x3 - 2xy2 t y3
Vậy 12x4 + 4x3 + 9x + 3 = (3x - 2)(4x3 + 4x2 + 77X + 4") + -44
b)
4x5 + 2x4y - 6x3y2 +	3xy4 - y5
4x;>	- 4x3y2 + 2x2y3	 2x2 + xy
2x4y - 2x3y2 - 2x2y3 + 3xy4 - y5 2x4y - 2x2y3 + XV4
_ - 2x3y2 + 2xy4. - y5 - 2x3y2 + 2xy4 - y5
0
Vậy 4x5 + 2x4y - 6x3y2 + 3xy4 - y5 = (2x3 - 2xy2 + y3)(2x2 + xy - y2)
Bài tập cơ bẳn
Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia: a) (x3 - 7x + 3 - X2) : (x - 3) b) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ đê thực hiện phép chia:
a) (x2 + 2xy + y2) : (x + y)	b) (125x3 + i) : (5x + 1)
(x2 - 2xy + y2) : (y - x)
Cho hai đa thức: A = 3x4 + X3 + 6x - 5 và B - X2 + 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R
Giải
a) (x3 - 7x + 3 - X2) : (x - 3)
X2 - 7x + 3
3x2
X-3
2x2 - 7x + 3 2x2 - 6x
+ 2x- 1
-X + 3 -X + 3
Vậy (x3 - 7x + 3 -
’(2x4 - 3x3 - 3x2
2x4- 3x3- 3x2+ 6x - 2 2x4	- 4x2
x2-2
2x2 - 3x +1
-3x3 + x2+ 6x - 2 3x3	+ 6x
X2	-2
'x2	-2
0
X2) : (x - 3) = X2
+ 2x - 1
2 + 6x) : (x2 - 2)
Vậy (2x4 - 3x3 + 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2) = 2x2 - 3x + 1
a) (x2 + 2xy + y2) : (x + y) = (x + y)2 : (x + y) = X + y
(125x3 + 1) : (5x + 1) = [(5x)3 + 1] : (5x + 1)
= (5x)2 - 5x + 1 = 25x2 - 5x + 1
(x2 - 2xy + y2) : (y - x) = (x - y)2 : [—(x - y)]
= -(x - y) = y - X
Hoặc (x2 - 2xy + y2) : (y - x) = (y2 - 2xy + X2) : (y - x)
= (y - X)2
3x4 + X3	+ 6x - 5
: (y - x) = y - X2 + 1
3x4	+ 3x2
3x2 + X - 3
X3 - 3x2 + 6x - 5
X3	+ X
-3x2 + 5x- 5 " -3x2	- 3
5x - 2
69.
Vậy: 3x4 + X3 + 6x - 5 =(x2 + l)(3x2 + X - 3) + 5x - 2
Bài tập tương tự
Làm tính chia:
(2x4 - 3x3 + 4x2 + 1) : (x2 - 1)
(-3x5 + 5x4 + 3x - 1) : (-X2 + X + 1)
Xác định số a đế’ đa thức X3 + X2 - X + a chia hết cho đa thức (x + l)2.
LUYỆN TẬP
Làm tính chia:
a) (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y
Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.
A = 15x4 - 8x3 + X2 R ĩ 2
2
A = X2 - 2x + 1 B = 1 - X
Làm tính chia:
(2x4 + X3
Tính nhanh:
3x2 + 5x - 2) : (x2 - X + 1)
a) (4x2' - 9y2) : (2x - 3y)
(8x3 + 1) : (4x2 - 2x + 1)
Tìm số a để đa thức 2x3 -
b) (27x3 - 1) : (3x - 1) d) (x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y) 3x2 + X + a chia hết cho đa thức X + 2.
Giải
70. a) (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 = (25x5 : 5x2) - (5x4 : 5x2) + (10x2 : 5x2) = 5x3 - X2 + 2
b) (15x3y2 - 6x2y - 3x2y2) : 6x2y
= (15x3y2 : 6x2y) + (-6x2y : 6x2y) + (-3x2y2 : 6x2y)
71.
- (iox°y^ : bx“y; + (,-bx^y : bx"yj +	: bx~yj
15	.3	5	1	-
= — xy -1 - — y	= — xy	- — y -1
Q J	6	2	2
a) A chia	hết cho	B vì	X4, X3, X2	đều chia hết cho	X2.
A rin Q	rPin	R	— 9.Y -ị-	1	—	rpiin	Pip
72.
b) A chia hết cho B, vì X2 - 2x + 1 = ( 2x4 + X3 - 3x2 + 5x - 2 2x4 - 2x3 + 2x2
3x3- 5x2 + 5x - 2 3x3-3x2 + 2x
-2x2 + 2x - 2 -2x2 + 2x - 2
x)2, chiá hết cho 1 - X. X2 - X + 1
2x2 + 3x - 2
3y) = 2x + 3y
73. a) (4x2 - 9y2) b) (27x3 - 1)
(2x - 3y) = [(2x)2 - (3y)2] : (2x
(3x - 1) = [(3x)3 - 1] : (3x - 1)
= 2x + 1
(x2 - 3x + xy - 3y) : (x + y) = [(x2 + xy) - (3x + 3y)] : (x + y)
= [x(x + y) - 3(x + y)] : (x + y)
= (x + y)(x - 3) : (x + y)
= X - 3
2x3 - 3x2 + X + a
2x3 + 4x2
7x2 + X + a
7x2 - 14x
2x2 - 7x + 15
15x + a 15x + 30
a-30
Để phép chia chia hết thì dư a - 30 phải bằng 0 tức là a-30 = 0=>a = 30
Vậy a = 30.