Giải bài tập Toán lớp 8: Bài 3. Hình thang cân
§3. HÌNH THANG CÂN A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Định nghĩa Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. ABCD là hình thang cân (đáy AB; CD) (AB//CD Tính Chat Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AD = BC Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AC = BD Định lí 3í*Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Hình thang ABCD (đáy AB, CD) có AC = BD => ABCD là hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Nếu cắt các cạnh bên của một tam giác cân bởi một đường thẳng song song với cạnh đáy thì tứ giác thu được là hình gì? Giải Xét tam giác ABC cân tại A, đường thẳng song song với đáy BC cắt các cạnh bên AB, AC lần lượt tại E và F. Ta xét tứ giác BEFC, có: EF // BC Nên BEFC là hình thang (định nghĩa). Mặt khác AABC cân tại A nên có: B = C Khi đó BEFC là hình thang có hai góc ở một đáy bằng nhau, vậy theo định nghĩa thì tứ giác BEFC là hình thang cân. Bài tập cơ bản D Hình 30 Hình 31 Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (h.30, độ dài của cạnh ô vuông là lcm). Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED. Đố. Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31), tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao? Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân. A B _ b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng Ẩ = 50°. Giải Theo hình vẽ, ta có: AB = 2cm, CD = 4cm Trong tam giác vuông AED, áp dụng định lí Pitago ta được D E AD 2 Da = Ẽ2 = 180° - B = 180" - 65° = 115° Bài tập tương tự Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao? = AE2 + ED2 = 32 + l2 = 10 Suy ra AD = 7ĨÕ cm Vậy AB = 2cm, CD = 4cm, AD = BC = Ợ10 cm Xét hai tam giác vuông AED và BFC Ta có: AD = BC (gt) _D = C (gt) Nên AAED = ABFC (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: DE = CF Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BC, D - C Xét hai tam giác ADC và BCD, ta có: AD = BC (gt) AC = BD (gt) DC cạnh chung Nên AADC = ABCD (c.c.c) Suy ra Cl = Di Do đó tam giác ECD cân tại E, nên EC = ED Ta lại có: AC = BD suy ra EA = EB Chú ý: Ngoài cách chứng minh AADC = ABCD (c.c.c) ta còn có thể chứng minh AADC = ABCD (c.g.c) như sau: AD = BC,D = c, DC cạnh chung Để xét xem tứ giác nào là hình thang cân ta dùng tính chất “Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau” * Tứ giác ABCD là hình thang cân vì có AD = BC. Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH. a) Ta có AD = AE nên AADE cân Do đó Di = Ei _ _ _ Trong tem giác ADE có: Di + El + A = 180° Hay 2Di = 180° -  ~ 180° -  180° -  Tương tự trong tam giác cân ABC ta có B = Nên Di = B là hai góc đồng vị. Suy ra DE // BC Do đó BDEC là hình thang. Lại có B = c Nên BDEC là hình thang cân. _ ~ ~ 180° — A b) Với A = 50° ta được B = c = 180° - 50° = 65° Di = Tính các góc của tứ giác BMNC, biết rằng  = 40° • LUYỆN TẬP Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE, (D e AC, E e AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thangcan có đáy nhỏ bằng cạnh bên. Hình thang ABCD(AB//CD) có ACD = BDC . Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình D A K Hình 32 thang cân” qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thắng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng: ABDE là tam giác cân. AACD = ABDC Hình thang ABCD là hình thang cân. Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giây kẻ ô vuông (h.32). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân. Giải a) AABD và AACE có AB = AC (gt)  chung. Bi =Ci =ịÊ=£C 2 2 Nên AABD = AACE (g.c.g) Suy ra AD = AE của bài 15. b) Vì BEDC là hình thang cân nên DE // BC. Suy ra Di = ỗ2 (so le trong) Lại có Bi = Ba nên Bi = Di Do đó tam giác EBD cân. Suy ra EB = ED. Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. Gọi E là giao điếm của AC và BD. AECD có Cl = D (do ACD = BDC) nên là giác cân. Suy ra EC = ED (1) Tương tự EA = EB (2) Từ (1) và (2) suy ra AC = BD Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân. a) Hình thang ABEC (AB // CE) có hai cạnh bên AC, BE song song nên chúng bằng nhau: AC = BE (1) Theo giả thiết AC = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra BE = BD do đó tam giác BDE cân. Ta có AC // BE suy ra Cl =_Ê _ (3) ABDE cân tại B (câu a) nên Di = Ê (4) Từ (3) và (4) suy ra Cl = D. Xét AACD và ABCD có AC = BD (gt) Ci = Di (cmt) CD cạnh chung Nên AACD = ABDC (c.g.c) D A K \ AACD = ABDC (câu b) Suy ra ADC = BCD Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân. Có thể tìm được hai điểm M là giao điếm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho A, D, K là bốn đỉnh của một hình thang cân. Đó là hình thang AKDM1 (với AK là đáy) và hình thang ADKMg (với DK là đáy).